Cho số phức z thỏa mãn $| z - 1 - i | = 1$ . Khi $3\left| z...

The Knowledge · 15/12/21

Câu hỏi: Cho số phức z thỏa mãn

| z - 1 - i | = 1

. Khi

3 | z | + 2 | z - 4 - 4 i |

đạt giá trị lớn nhất, giá trị

| z |

bằng
A. 3.
B. 2.
C.

\sqrt{2} + 1

.
D.

\sqrt{3}

.

Đặt

z = a + b i \Rightarrow | z - 1 - i | = 1 \Leftrightarrow {(a - 1)}^{2} + {(b - 1)}^{2} = 1 \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} = 2 a + 2 b - 1

.
Khi đó

3 | z | + 2 | z - 4 - 4 i | = 3 \sqrt{a^{2} + b^{2}} + 2 \sqrt{{(a - 4)}^{2} + {(b - 4)}^{2}} = 3 \sqrt{2 a + 2 b - 1} + 2 \sqrt{(a^{2} + b^{2}) - 8 a - 8 b + 32}

= 3 \sqrt{2 a + 2 b - 1} + 2 \sqrt{(2 a + 2 b - 1) - 8 a - 8 b + 32} = 3 \sqrt{2 a + 2 b - 1} + 2 \sqrt{- 6 a - 6 b + 31}

= \sqrt{3} \sqrt{6 a + 6 b - 3} + 2 \sqrt{- 6 a - 6 b + 31} \leq \sqrt{({\sqrt{3}}^{2} + 2^{2}) (6 a + 6 b - 3 - 6 a - 6 b + 31)} = 14

.
Dấu "=" xảy ra khi

{\begin{aligned} a^{2} + b^{2} = 2 a + 2 b - 1 \\ \frac{\sqrt{6 a + 6 b - 3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{- 6 a - 6 b + 31}}{2} \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} a + b = \frac{5}{2} \\ a^{2} + b^{2} = 4 \end{aligned} \Rightarrow | z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = 2

.

Đáp án B.

Cho số phức z thỏa mãn |z−1−i|=1. Khi $3\left| z...