Google
Câu hỏi: Cho số phức z thỏa mãn $\left| z-1+3i \right|+\left| \overline{z}+5+i \right|=2\sqrt{65}.$ Giá trị nhỏ nhất của $\left| z+2+i \right|$ đạt được khi $z=a+bi$ với a, b là các số thực dương. Giá trị của $2b+3a$ bằng
A. 19.
B. 16.
C. 24.
D. 13.
A. 19.
B. 16.
C. 24.
D. 13.
Đặt $z=x+yi,\left( x,y\in \mathbb{R} \right).$
Từ giả thiết, ta có $\left| \left( x-1 \right)+\left( y+3 \right)i \right|+\left| \left( x+5 \right)-\left( y-1 \right)i \right|=2\sqrt{65}$
$\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( x+5 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}=2\sqrt{65}.$
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xky, ta có
$2\sqrt{65}=1.\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}}+1.\sqrt{{{\left( x+5 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}\le \sqrt{2\left[ {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}+{{\left( x+5 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}} \right]}$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{65}\le 2\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x+2y+18}=2\sqrt{{{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+13}$
$\Leftrightarrow 52\le {{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}\Rightarrow 2\sqrt{13}\le \left| z+2+i \right|.$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}={{\left( x+5 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=65$
$\Leftrightarrow \left( x;y \right)=\left( -6;-7 \right)$ hoặc $\left( x;y \right)=\left( 2;5 \right).$ Theo giả thiết, ta lấy $a=2,b=5.$
Từ giả thiết, ta có $\left| \left( x-1 \right)+\left( y+3 \right)i \right|+\left| \left( x+5 \right)-\left( y-1 \right)i \right|=2\sqrt{65}$
$\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( x+5 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}=2\sqrt{65}.$
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xky, ta có
$2\sqrt{65}=1.\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}}+1.\sqrt{{{\left( x+5 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}\le \sqrt{2\left[ {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}+{{\left( x+5 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}} \right]}$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{65}\le 2\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x+2y+18}=2\sqrt{{{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+13}$
$\Leftrightarrow 52\le {{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}\Rightarrow 2\sqrt{13}\le \left| z+2+i \right|.$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}={{\left( x+5 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=65$
$\Leftrightarrow \left( x;y \right)=\left( -6;-7 \right)$ hoặc $\left( x;y \right)=\left( 2;5 \right).$ Theo giả thiết, ta lấy $a=2,b=5.$
Đáp án B.