Google
Câu hỏi: Cho số phức z thỏa mãn $\left| \dfrac{z-1}{z+3i} \right|=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\left| z+i \right|+2\left| \overline{z}-4+7i \right|$
A. 10
B. 20
C. $2\sqrt{5}$
D. $4\sqrt{5}$
A. 10
B. 20
C. $2\sqrt{5}$
D. $4\sqrt{5}$
Ta có: $\left| \dfrac{z-1}{z+3i} \right|=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow \sqrt{2}\left| z-1 \right|=\left| z+3i \right|$.Gọi M là điểm biểu diễn số phức z, tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn có phương trình: ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=20\left( C \right)$
$P=\left| z+i \right|+2\left| \overline{z}-4+7i \right|=\left| z+i \right|+2\left| z-4-7i \right|, A\left( 0;-1 \right); B\left( 4;7 \right)$ lần lượt biểu diễn cho 2 số phức
${{z}_{1}}=-i, {{z}_{2}}=4+7i$. Ta có: $A,B\in \left( C \right), AB=4\sqrt{5}=2R$ nên AB là đường kính đường tròn (C)
$\Rightarrow M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}=80$
Mặt khác: $P=\left| z+i \right|+2\left| \overline{z}-4+7i \right|=\left| z+i \right|+2\left| z-4-7i \right|=MA+2MB\le \sqrt{5\left( M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}} \right)}=20$, dấu "=" xảy ra khi $MB=2MA$. Vậy $Max P=20$
$P=\left| z+i \right|+2\left| \overline{z}-4+7i \right|=\left| z+i \right|+2\left| z-4-7i \right|, A\left( 0;-1 \right); B\left( 4;7 \right)$ lần lượt biểu diễn cho 2 số phức
${{z}_{1}}=-i, {{z}_{2}}=4+7i$. Ta có: $A,B\in \left( C \right), AB=4\sqrt{5}=2R$ nên AB là đường kính đường tròn (C)
$\Rightarrow M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}=80$
Mặt khác: $P=\left| z+i \right|+2\left| \overline{z}-4+7i \right|=\left| z+i \right|+2\left| z-4-7i \right|=MA+2MB\le \sqrt{5\left( M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}} \right)}=20$, dấu "=" xảy ra khi $MB=2MA$. Vậy $Max P=20$
Đáp án B.