Cho số phức z thỏa mãn $\left| \dfrac{z-1}{z+3i}...

Cách 1: (Phương pháp hình học)
Ta có $P=\left| z+i \right|+2\left| \overline{z}-4+7i \right|=\left| z+i \right|+2\left| \overline{\overline{z}-4+7i} \right|=\left| z+i \right|+2\left| z-4-7i \right|.$
Gọi $A\left( 0;-1 \right),B\left( 4;7 \right)$ lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức ${{z}_{1}}=-i,$ ${{z}_{2}}=4+7i.$ Khi đó ta có $P=MA+2MB.$
Đặt $z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right).$ Khi đó $M\left( x;y \right)$ là điểm biểu diễn số phức z.
Ta có: $\left| \dfrac{z-1}{z+3i} \right|=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow \sqrt{2}\left| z-1 \right|=\left| z+3i \right|\Leftrightarrow \sqrt{2}\left| \left( x-1 \right)+yi \right|=\left| x+\left( y+3 \right)i \right|$
$\Leftrightarrow \sqrt{2}\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}}\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=20.$
Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn $\left( C \right)$ tâm $I\left( 2;3 \right)$ và bán kính $R=2\sqrt{5}.$ Dễ thấy A, B thuộc đường tròn $\left( C \right).$ Vì AB nhận I làm trung điểm nên AB là đường kính của đường tròn $\left( C \right)\Rightarrow M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}=80.$
Từ đó: $P=MA+2MB\le \sqrt{\left( {{1}^{2}}+{{2}^{2}} \right)\left( M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}} \right)}=20.$
Dấu " = " xảy ra khi $\left\{ \begin{aligned}
& MB=2MA \\
& M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=80 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& MA=4 \\
& MB=8 \\
\end{aligned} \right..$
Vậy $\max P=20.$
Cách 2: (Phương pháp đại số)
Đặt $z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right).$
Ta có $\left| \dfrac{z-1}{z+3i} \right|=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow \sqrt{2}\left| z-1 \right|=\left| z+3i \right|\Leftrightarrow \sqrt{2}\left| \left( x-1 \right)+yi \right|=\left| x+\left( y+3 \right)i \right|$
$\Leftrightarrow \sqrt{2}\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}}\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=20.$
Ta có $P=\left| z+i \right|+2\left| \overline{z}-4+7i \right|=\left| x+\left( y+1 \right)i \right|+2\left| x-4+\left( 7-y \right)i \right|$
$=\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}}+2\sqrt{{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( 7-y \right)}^{2}}}.$
Áp dụng bất đẳng thức Bunhicopxki ta có:
${{P}^{2}}\le \left( {{1}^{2}}+{{2}^{2}} \right)\left[ {{x}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( 7-y \right)}^{2}} \right]$
${{P}^{2}}\le 5\left[ 2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}-8x-12y+66 \right]=5.2\left[ {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+20 \right]$
${{P}^{2}}\le 10\left( 20+20 \right)=400\Rightarrow P\le 20.$
Dấu bằng xảy ra khi
$\left\{ \begin{aligned}
& 2\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( 7-y \right)}^{2}}} \\
& {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=20 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3{{x}^{2}}+3{{y}^{2}}+8x+22y-61=0(1) \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-6y-7=0\text{ }(2) \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=2-2y \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-6y-7=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=2-2y \\
& 5{{y}^{2}}-6y-11=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=4 \\
& y=-1 \\
\end{aligned} \right.\vee \left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{-12}{5} \\
& y=\dfrac{11}{5} \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $\max P=20.$