Google
Câu hỏi: Cho số phức z thỏa mãn $\left| \dfrac{z-1}{z+3i} \right|=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\left| z+i \right|+2\left| \overline{z}-4+7i \right|$.
A. 8.
B. 20.
C. $2\sqrt{5}$.
D. $4\sqrt{5}$.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\left| z+i \right|+2\left| \overline{z}-4+7i \right|$.
A. 8.
B. 20.
C. $2\sqrt{5}$.
D. $4\sqrt{5}$.
Đặt $z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$, ta được $\left| \dfrac{z-1}{z+3i} \right|=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow 2{{\left( a-1 \right)}^{2}}+2{{b}^{2}}={{a}^{2}}+{{\left( b+3 \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow 2{{a}^{2}}-4a+2+2{{b}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+6b+9\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-4a-6b=7$.
Ta có $P=\left| a+\left( b+1 \right)i \right|+2\left| a-4-\left( b-7 \right)i \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}}+2\sqrt{{{\left( a-4 \right)}^{2}}+{{\left( b-7 \right)}^{2}}}$
Suy ra ${{P}^{2}}\le \left( {{1}^{2}}+{{2}^{2}} \right)\left[ {{a}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}+{{\left( a-4 \right)}^{2}}+{{\left( b-7 \right)}^{2}} \right]$
$=5\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2b+1+{{a}^{2}}-8a+16+{{b}^{2}}-14b+49 \right)$
$=5\left( 2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}-8a-12b+66 \right)=5\left( 2.7+66 \right)=400$
Do đó ${{P}^{2}}\le 400\Rightarrow P\le 20$. Vậy giá trị lớn nhất của P là 20.
$\Leftrightarrow 2{{a}^{2}}-4a+2+2{{b}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+6b+9\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-4a-6b=7$.
Ta có $P=\left| a+\left( b+1 \right)i \right|+2\left| a-4-\left( b-7 \right)i \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}}+2\sqrt{{{\left( a-4 \right)}^{2}}+{{\left( b-7 \right)}^{2}}}$
Suy ra ${{P}^{2}}\le \left( {{1}^{2}}+{{2}^{2}} \right)\left[ {{a}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}+{{\left( a-4 \right)}^{2}}+{{\left( b-7 \right)}^{2}} \right]$
$=5\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2b+1+{{a}^{2}}-8a+16+{{b}^{2}}-14b+49 \right)$
$=5\left( 2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}-8a-12b+66 \right)=5\left( 2.7+66 \right)=400$
Do đó ${{P}^{2}}\le 400\Rightarrow P\le 20$. Vậy giá trị lớn nhất của P là 20.
Đáp án B.