. Cho số phức z thỏa mãn $\left| \dfrac{z-1}{z+3i}...

Ta có: $\left|{\displaystyle \frac{z-1}{z+3i}}\right|={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\iff \sqrt{2}|z-1|=|z+3i|$. Gọi M là điểm biểu diễn số phức z, tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn có phương trình: ${(x-2)}^2+{(y-3)}^2=20\left(C\right)$.
$P=|z+i|+2|\bar{z}-4+7i|=|z+i|+2|z-4-7i|$, $A(0;-1),B(4;7)$ lần lượt biểu diễn cho 2 số phức
$z_1=-i,{\text{z}}_2=4+7i$. Ta có: $A,B\in \left(C\right),AB=4\sqrt{5}=2\text{R}$ nên AB là đường kính đường tròn
$\left(C\right)\Rightarrow M{A}^2+M{B}^2=A{B}^2=80$.
Mặt khác: $P=|z+i|+2|\bar{z}-4+7i|=|z+i|+2|z-4-7i|=MA+2MB\le \sqrt{5(M{A}^2+M{B}^2)}=20$, dấu "=" xảy ra khi $MB=2MA$. Vậy $maxP=20$.