Cho số phức z thỏa mãn $\left( 2-i \right)\left| z...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Cho số phức z thỏa mãn

(2 - i) | z | - \frac{25}{\overset{―}{z}} = 6 - 2 i .

Khi đó

| z |

thuộc khoảng nào trong các khoảng sau?
A.

(2; 4) .

B.

(4; 6) .

C.

(9; 11) .

D.

(11; 14) .

Điều kiện bài toán tương đương:

(2 - i) | z | - 6 + 2 i = \frac{25}{\overset{―}{z}} \Leftrightarrow (2 | z | - 6) - (| z | - 2) i = \frac{25}{\overset{―}{z}} .

\Rightarrow (2 | z | - 6) - (| z | - 2) i = | \frac{25}{\overset{―}{z}} | \Leftrightarrow \sqrt{{(2 | z | - 6)}^{2} + {(| z | - 2)}^{2}} = \frac{25}{| \overset{―}{z} |}

(*)
Đặt

t = | z | > 0,

khi đó (*) có dạng:

\sqrt{{(2 t - 6)}^{2} + {(t - 2)}^{2}} = \frac{25}{t} \Leftrightarrow 5 t^{2} - 28 t + 40 = \frac{625}{t^{2}}

\Leftrightarrow 5 t^{4} - 28 t^{3} + 40 t^{2} - 625 = 0 \Leftrightarrow (t - 5) (5 t^{3} - 3 t^{2} + 25 t + 125) = 0

(2*)
Do

(5 t^{3} - 3 t^{2} + 25 t + 125) = 0 \Leftrightarrow t (5 t^{2} - 3 t + 25) + 125 > 0, \forall t > 0,

suy ra:
(2*)

\Leftrightarrow t = 5 \Leftrightarrow | z | = 5 \in (4; 6) .

Đáp án B.