Google
Câu hỏi: Cho số phức $z$ thỏa mãn hệ thức $z(\bar{z}+1)-2 i(z-2)=k$, trong đó $k$ là số thực và $i$ là đơn vị ảo. Giá trị nhỏ nhất của $k$ bằng:
A. $\dfrac{15}{4}$.
B. $\dfrac{31}{5}$.
C. $\dfrac{39}{20}$.
D. $1+2 \sqrt{5}$.
A. $\dfrac{15}{4}$.
B. $\dfrac{31}{5}$.
C. $\dfrac{39}{20}$.
D. $1+2 \sqrt{5}$.
Ta có $z(\bar{z}+1)-2 i(z-2)=k \Leftrightarrow|z|^2+z-2 i z+4 i=k$
Gọi $z=x+y i$, thay vào hệ thức (1) ta được $x^2+y^2+x+y i-2 i(x+y i)+4 i=k$
Hay
$
\left(x^2+y^2+x+2 y\right)+(y-2 x+4) i-k
$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y-2 x+4=0 \\ k=x^2+y^2+x+2 y\end{array} \Leftrightarrow\right.$
$
\left\{\begin{array}{l}
y=2 x-4 \\
k=x^2+y^2+x+2 y
\end{array}\right.
$
Thế hệ thức (2) vào hệ thức (3) ta được $k=x^2+(2 x-4)^2+x+2(2 x-4)=5 x^2-11 x+8=$ $5\left(x-\dfrac{11}{10}\right)^2+\dfrac{39}{20} \geq \dfrac{39}{20}$.
Suy ra giá trị nhỏ nhất của số thực $k$ là $k_{\min }=\dfrac{39}{20}$.
Gọi $z=x+y i$, thay vào hệ thức (1) ta được $x^2+y^2+x+y i-2 i(x+y i)+4 i=k$
Hay
$
\left(x^2+y^2+x+2 y\right)+(y-2 x+4) i-k
$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y-2 x+4=0 \\ k=x^2+y^2+x+2 y\end{array} \Leftrightarrow\right.$
$
\left\{\begin{array}{l}
y=2 x-4 \\
k=x^2+y^2+x+2 y
\end{array}\right.
$
Thế hệ thức (2) vào hệ thức (3) ta được $k=x^2+(2 x-4)^2+x+2(2 x-4)=5 x^2-11 x+8=$ $5\left(x-\dfrac{11}{10}\right)^2+\dfrac{39}{20} \geq \dfrac{39}{20}$.
Suy ra giá trị nhỏ nhất của số thực $k$ là $k_{\min }=\dfrac{39}{20}$.
Đáp án C.