Google
Câu hỏi: Cho số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: $\left| z-3-4i \right|=\sqrt{5}$ và biểu thức $M={{\left| z+2 \right|}^{2}}-{{\left| z-i \right|}^{2}}$ đạt giá trị lớn nhất. Môđun của số phức $z-2-i$ bằng
A. $\sqrt{5}.$
B. 9.
C. 25.
D. 5.
A. $\sqrt{5}.$
B. 9.
C. 25.
D. 5.
Đặt $z=x+yi,\left( \forall x,y\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow \left| z-3-4i \right|=\sqrt{5}$ $\Leftrightarrow {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=5\ \ \left( 1 \right)$
Ta có: $M={{\left| z+2 \right|}^{2}}-{{\left| z-i \right|}^{2}}={{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}-{{x}^{2}}-{{\left( y-1 \right)}^{2}}=4x+2y+3$
$=4\left( x-3 \right)+2\left( y-4 \right)+23\le \sqrt{20}\sqrt{{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}}+23=33$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{x-3}{y-4}=\dfrac{4}{2}$, kết hợp với (1) suy ra $\left[ \begin{aligned}
& x=y=5\Rightarrow z=5+5i \\
& x=1,y=3\Rightarrow z=1+3i \\
\end{aligned} \right.$
Thử lại ta có ${{M}_{\max }}=33\Leftrightarrow z=5+5i\Rightarrow \left| z-2-i \right|=5$.
Ta có: $M={{\left| z+2 \right|}^{2}}-{{\left| z-i \right|}^{2}}={{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}-{{x}^{2}}-{{\left( y-1 \right)}^{2}}=4x+2y+3$
$=4\left( x-3 \right)+2\left( y-4 \right)+23\le \sqrt{20}\sqrt{{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}}+23=33$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{x-3}{y-4}=\dfrac{4}{2}$, kết hợp với (1) suy ra $\left[ \begin{aligned}
& x=y=5\Rightarrow z=5+5i \\
& x=1,y=3\Rightarrow z=1+3i \\
\end{aligned} \right.$
Thử lại ta có ${{M}_{\max }}=33\Leftrightarrow z=5+5i\Rightarrow \left| z-2-i \right|=5$.
Đáp án D.