Cho số phức z thỏa mãn điều kiện $\left| z+i \right|=\left|...

Giả sử $z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$ và $M\left( x;y \right)$ là điểm biểu diễn của số phức z.
Ta có: $\begin{aligned}
& \left| z+i \right|=\left| \overline{z}+2+i \right|\Leftrightarrow \left| x+\left( y+1 \right)i \right|=\left| x+2-\left( y-1 \right)i \right| \\
& \Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}={{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow x-y+1=0\left( \Delta \right) \\
\end{aligned}$
Mặt khác $P=\left| \left( i-1 \right)z+4-2i \right|=\left| \left( i-1 \right) \right|\left| z+\dfrac{4-2i}{i-1} \right|=\sqrt{2}\left| z-3-i \right|=\sqrt{2}\sqrt{{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{2}MA$, với $A\left( 3;1 \right)$ và $M\left( x;y \right)$ là điểm biểu diễn z.
Bài toán trở thành tìm điểm M trên đường thẳng $\Delta $ để khoảng cách MA ngắn nhất.
Ta thấy ${{P}_{\min }}=\sqrt{2}.d\left( A,\Delta \right)=\sqrt{2}.\dfrac{\left| 3-1+1 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}}=3$.
Đẳng thức xảy ra khi M là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng $\Delta $ hay $M\left( \dfrac{3}{2};\dfrac{5}{2} \right)$.
$\Rightarrow z=\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{2}i$.