Google
Câu hỏi: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện $\left| z-2+3i \right|=\dfrac{3}{2}$. Điểm biểu diễn cho số phức z có môđun nhỏ nhất có tọa độ là:
A. $\left( \dfrac{26-3\sqrt{13}}{13};\dfrac{78+9\sqrt{13}}{26} \right)$
B. $\left( \dfrac{26+3\sqrt{13}}{13};\dfrac{78+9\sqrt{13}}{26} \right)$
C. $\left( \dfrac{26-3\sqrt{13}}{13};\dfrac{-78+9\sqrt{13}}{26} \right)$
D. $\left( \dfrac{26+3\sqrt{13}}{13};\dfrac{78-9\sqrt{13}}{26} \right)$
A. $\left( \dfrac{26-3\sqrt{13}}{13};\dfrac{78+9\sqrt{13}}{26} \right)$
B. $\left( \dfrac{26+3\sqrt{13}}{13};\dfrac{78+9\sqrt{13}}{26} \right)$
C. $\left( \dfrac{26-3\sqrt{13}}{13};\dfrac{-78+9\sqrt{13}}{26} \right)$
D. $\left( \dfrac{26+3\sqrt{13}}{13};\dfrac{78-9\sqrt{13}}{26} \right)$
Đặt $z=x+yi$, $\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$
Ta có $\left| z-2+3i \right|=\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow \left| x+yi-2+3i \right|=\dfrac{3}{2}$
$\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}=\dfrac{9}{4}$
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm $I\left( 2;-3 \right)$ bán kính là $R=\dfrac{3}{2}$.
Lúc này nếu OI cắt đường tròn đã cho tại lần lượt hai điểm A; B thì $OA\le \left| z \right|\le OB$
Mặt khác phương trình đường thẳng chứa OI là: $3x+2y=0$
Vậy tọa độ điểm A, B thỏa mãn hệ phương trình:
$\left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}=\dfrac{9}{4} \\
& y=-\dfrac{3}{2}x \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow {{x}^{2}}-4x+4+\dfrac{9}{4}{{x}^{2}}-9x+9=\dfrac{9}{4}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\dfrac{26+3\sqrt{13}}{13}\Rightarrow y=-\dfrac{78+9\sqrt{13}}{26} \\
& x=\dfrac{26-3\sqrt{13}}{13}\Rightarrow y=\dfrac{-78+9\sqrt{13}}{26} \\
\end{aligned} \right.$
Ta chọn $\left( \dfrac{26-3\sqrt{13}}{13};\dfrac{-78+9\sqrt{13}}{26} \right)$ (do tìm min)
Ta có $\left| z-2+3i \right|=\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow \left| x+yi-2+3i \right|=\dfrac{3}{2}$
$\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}=\dfrac{9}{4}$
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm $I\left( 2;-3 \right)$ bán kính là $R=\dfrac{3}{2}$.
Lúc này nếu OI cắt đường tròn đã cho tại lần lượt hai điểm A; B thì $OA\le \left| z \right|\le OB$
Mặt khác phương trình đường thẳng chứa OI là: $3x+2y=0$
Vậy tọa độ điểm A, B thỏa mãn hệ phương trình:
$\left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}=\dfrac{9}{4} \\
& y=-\dfrac{3}{2}x \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow {{x}^{2}}-4x+4+\dfrac{9}{4}{{x}^{2}}-9x+9=\dfrac{9}{4}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\dfrac{26+3\sqrt{13}}{13}\Rightarrow y=-\dfrac{78+9\sqrt{13}}{26} \\
& x=\dfrac{26-3\sqrt{13}}{13}\Rightarrow y=\dfrac{-78+9\sqrt{13}}{26} \\
\end{aligned} \right.$
Ta chọn $\left( \dfrac{26-3\sqrt{13}}{13};\dfrac{-78+9\sqrt{13}}{26} \right)$ (do tìm min)
Đáp án C.