Google
Câu hỏi: Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left| {{z}^{2}}-2z+5 \right|=\left| \left( z-1+2i \right)\left( z+3i-1 \right) \right|$. Giá trị nhỏ nhất của $\left| z-2+2i \right|$ bằng:
A. $1$.
B. $\sqrt{5}$.
C. $\dfrac{5}{2}$.
D. $\dfrac{3}{2}$.
A. $1$.
B. $\sqrt{5}$.
C. $\dfrac{5}{2}$.
D. $\dfrac{3}{2}$.
Ta có: $\left| {{z}^{2}}-2z+5 \right|=\left| \left( z-1+2i \right)\left( z-1-2i \right) \right|$
Từ giả thiết ta có: $\left[ \begin{aligned}
& \left| z-1+2i \right|=0 \\
& \left| z-1-2i \right|=\left| z+3i-1 \right| \\
\end{aligned} \right.$
* Với $\left| z-1+2i \right|=0$ $\Leftrightarrow z=1-2i$ $\Leftrightarrow \left| z-2+2i \right|=1$
* Với $\left| z-1-2i \right|=\left| z+3i-1 \right|$
đặt $z=x+yi$, $x,y\in \mathbb{R}$, ta thu gọn được kết quả $y=\dfrac{-1}{2}$
Suy ra $\left| z-2+2i \right|=\sqrt{{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{2}}}\ge \dfrac{3}{2}$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=2$
Vậy giá trị nhỏ nhất của môđun $\left| z-2+2i \right|$ là 1.
Từ giả thiết ta có: $\left[ \begin{aligned}
& \left| z-1+2i \right|=0 \\
& \left| z-1-2i \right|=\left| z+3i-1 \right| \\
\end{aligned} \right.$
* Với $\left| z-1+2i \right|=0$ $\Leftrightarrow z=1-2i$ $\Leftrightarrow \left| z-2+2i \right|=1$
* Với $\left| z-1-2i \right|=\left| z+3i-1 \right|$
đặt $z=x+yi$, $x,y\in \mathbb{R}$, ta thu gọn được kết quả $y=\dfrac{-1}{2}$
Suy ra $\left| z-2+2i \right|=\sqrt{{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{2}}}\ge \dfrac{3}{2}$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=2$
Vậy giá trị nhỏ nhất của môđun $\left| z-2+2i \right|$ là 1.
Đáp án A.