Google
Câu hỏi: Cho số phức z thỏa mãn $\dfrac{z}{1+z}$ là số thuần ảo. Số phức ${{z}^{2}}+4$ có mô đun nhỏ nhất bằng
A. $\dfrac{2\sqrt{13}}{13}$.
B. $4$.
C. $\dfrac{4\sqrt{13}}{13}$.
D. $\dfrac{16\sqrt{17}}{17}$.
A. $\dfrac{2\sqrt{13}}{13}$.
B. $4$.
C. $\dfrac{4\sqrt{13}}{13}$.
D. $\dfrac{16\sqrt{17}}{17}$.
Đặt $z=a+bi \left( z\ne 0 \right)$
Ta có
$\dfrac{z}{1+z}=\dfrac{a+bi}{1+a+bi}$
$=\dfrac{\left( a+bi \right)\left( 1+a-bi \right)}{\left( 1+a+bi \right)\left( 1+a-bi \right)}$
$=\dfrac{a\left( 1+a \right)+{{b}^{2}}+bi}{{{\left( 1+a \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}$
$=\dfrac{a\left( 1+a \right)+{{b}^{2}}}{{{\left( 1+a \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}+\dfrac{b}{{{\left( 1+a \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}i$.
Theo giả thuyết, ta có $\dfrac{z}{1+z}$ là số thuần ảo $\Rightarrow \dfrac{a\left( 1+a \right)+{{b}^{2}}}{{{\left( 1+a \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}=0$ $\Leftrightarrow a\left( 1+a \right)+{{b}^{2}}=0 \left( 1 \right)$
${{z}^{2}}+4={{\left( a+bi \right)}^{2}}+4={{a}^{2}}-{{b}^{2}}+4-2abi$.
$\Rightarrow \left| {{z}^{2}}+4 \right|=\sqrt{{{\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}}+4 \right)}^{2}}+{{\left( -2ab \right)}^{2}}}$.
$\left| {{z}^{2}}+4 \right|$ có mô đun nhỏ nhất khi và chỉ khi ${{\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}}+4 \right)}^{2}}+4{{a}^{2}}{{b}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Từ $\left( 1 \right)\Rightarrow {{b}^{2}}=-{{a}^{2}}-a$.
Ta có:
${{\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}}+4 \right)}^{2}}+4{{a}^{2}}{{b}^{2}}={{\left[ {{a}^{2}}-\left( -{{a}^{2}}-a \right)+4 \right]}^{2}}+4{{a}^{2}}\left( -{{a}^{2}}-a \right)$
$={{\left( 2{{a}^{2}}+a+4 \right)}^{2}}-4{{a}^{2}}\left( {{a}^{2}}+a \right)$
$=17{{a}^{2}}+8a+16 \left( 2 \right)$
$\left( 2 \right)$ là một tam thức bậc 2, hệ số của ${{a}^{2}}$ lớn hơn $0$
$\Rightarrow $ $\left( 2 \right)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $a=-\dfrac{8}{2.17}=-\dfrac{4}{17}$.
Vậy ${{z}^{2}}+4$ có mô đun nhỏ nhất bằng $\sqrt{17.{{\left( -\dfrac{4}{17} \right)}^{2}}+8.\left( -\dfrac{4}{17} \right)+16}=\dfrac{16\sqrt{17}}{17}$.
Ta có
$\dfrac{z}{1+z}=\dfrac{a+bi}{1+a+bi}$
$=\dfrac{\left( a+bi \right)\left( 1+a-bi \right)}{\left( 1+a+bi \right)\left( 1+a-bi \right)}$
$=\dfrac{a\left( 1+a \right)+{{b}^{2}}+bi}{{{\left( 1+a \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}$
$=\dfrac{a\left( 1+a \right)+{{b}^{2}}}{{{\left( 1+a \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}+\dfrac{b}{{{\left( 1+a \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}i$.
Theo giả thuyết, ta có $\dfrac{z}{1+z}$ là số thuần ảo $\Rightarrow \dfrac{a\left( 1+a \right)+{{b}^{2}}}{{{\left( 1+a \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}=0$ $\Leftrightarrow a\left( 1+a \right)+{{b}^{2}}=0 \left( 1 \right)$
${{z}^{2}}+4={{\left( a+bi \right)}^{2}}+4={{a}^{2}}-{{b}^{2}}+4-2abi$.
$\Rightarrow \left| {{z}^{2}}+4 \right|=\sqrt{{{\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}}+4 \right)}^{2}}+{{\left( -2ab \right)}^{2}}}$.
$\left| {{z}^{2}}+4 \right|$ có mô đun nhỏ nhất khi và chỉ khi ${{\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}}+4 \right)}^{2}}+4{{a}^{2}}{{b}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Từ $\left( 1 \right)\Rightarrow {{b}^{2}}=-{{a}^{2}}-a$.
Ta có:
${{\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}}+4 \right)}^{2}}+4{{a}^{2}}{{b}^{2}}={{\left[ {{a}^{2}}-\left( -{{a}^{2}}-a \right)+4 \right]}^{2}}+4{{a}^{2}}\left( -{{a}^{2}}-a \right)$
$={{\left( 2{{a}^{2}}+a+4 \right)}^{2}}-4{{a}^{2}}\left( {{a}^{2}}+a \right)$
$=17{{a}^{2}}+8a+16 \left( 2 \right)$
$\left( 2 \right)$ là một tam thức bậc 2, hệ số của ${{a}^{2}}$ lớn hơn $0$
$\Rightarrow $ $\left( 2 \right)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $a=-\dfrac{8}{2.17}=-\dfrac{4}{17}$.
Vậy ${{z}^{2}}+4$ có mô đun nhỏ nhất bằng $\sqrt{17.{{\left( -\dfrac{4}{17} \right)}^{2}}+8.\left( -\dfrac{4}{17} \right)+16}=\dfrac{16\sqrt{17}}{17}$.
Đáp án D.