Cho số phức $z$ thỏa mãn $\dfrac{\overline{z}}{z+i}=z-i.$ Môđun của số phức $w=z+1+{{z}^{2}}$ là

Điều kiện: $z\ne -i$
Gọi $z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$
Ta có: $\dfrac{\overline{z}}{z+i}=z-i\Leftrightarrow \overline{z}={{z}^{2}}-{{i}^{2}}\Leftrightarrow \overline{z}={{z}^{2}}+1\Leftrightarrow a-bi={{a}^{2}}-{{b}^{2}}+1+2abi\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a={{a}^{2}}-{{b}^{2}}+1 \\
& -b=2ab \\
\end{aligned} \right.$
$2ab+b=0\Leftrightarrow b\left( 2a+1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& b=0 \\
& a=-\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right..$
+) $b=0\Rightarrow a={{a}^{2}}+1\Leftrightarrow {{a}^{2}}-a+1=0$ (vô nghiệm).
+) $a=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow -\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}-{{b}^{2}}+1\Rightarrow b=\pm \dfrac{\sqrt{7}}{2}\Rightarrow z=\dfrac{1}{2}\pm \dfrac{\sqrt{7}}{2}i.$
$\Rightarrow w=1+z+{{z}^{2}}=\overline{z}+z=2a=-1\Rightarrow \left| w \right|=1.$