Cho số phức $z$ thỏa mãn $\dfrac{1}{\left| z \right|+z}$ có phần...

Giả sử $z=x+yi$, với $x,y\in \mathbb{R}$ và điều kiện $|z|+z\ne 0\Leftrightarrow y\ne 0$.
Ta có: $w=\dfrac{1}{|z|+z}=\dfrac{1}{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+x \right)+yi}=\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+x}{{{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+x \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}-\dfrac{y}{{{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+x \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}i$
Theo giả thiết, ta có: $\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+x}{{{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+x \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=\dfrac{1}{8}\Leftrightarrow 8\left( \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+x \right)=2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+2x\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}$
$\Leftrightarrow 4\left( \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}(\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+x)$
$\Leftrightarrow (\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}-x)\left( \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}-4 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=4 \\
& \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+x=0 \\
\end{aligned} \right.$
TH1: $\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+x=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\le 0 \\
& y=0 \\
\end{aligned} \right.$ (không thỏa mãn điều kiện).
TH2: $\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=4\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=16\Leftrightarrow \left| z \right|=4$.