Google
Câu hỏi: Cho số phức z thỏa $\left| z \right|=1.$ Gọi M, n lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left| {{z}^{5}}+{{\overline{z}}^{3}}+6\text{z} \right|-2\left| {{z}^{4}}+1 \right|.$ Khi đó M + m bằng
A. 6.
B. 7.
C. 8.
D. 12.
A. 6.
B. 7.
C. 8.
D. 12.
Ta có $P=\left| {{z}^{5}}+{{\overline{z}}^{3}}+6z \right|-2\left| {{z}^{4}}+1 \right|=\left| z \right|\left| {{z}^{4}}+\dfrac{1}{{{z}^{4}}}+6 \right|-2\left| {{z}^{4}}+1 \right|=\left| w+\dfrac{1}{w}+6 \right|-2\left| w+1 \right|,$ với $w={{z}^{4}}.$
Giả sử $w=x+iy\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$ thì $\left| w \right|=\left| {{z}^{4}} \right|=1\Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1.$ Do đó:
$P=\left| w+\overline{w}+6 \right|-2\left| w+1 \right|=\left| 2x+6 \right|-2\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=\left| 2x+6 \right|-2\sqrt{2x+2}={{t}^{2}}-2t+4=f\left( t \right),$ trong đó $t=\sqrt{2x+2}$ và $-1\le x\le 1\Rightarrow 0\le t\le 2.$
Bảng biến thiên:
Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& M=4 \\
& m=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow M+m=7.$
Giả sử $w=x+iy\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$ thì $\left| w \right|=\left| {{z}^{4}} \right|=1\Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1.$ Do đó:
$P=\left| w+\overline{w}+6 \right|-2\left| w+1 \right|=\left| 2x+6 \right|-2\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=\left| 2x+6 \right|-2\sqrt{2x+2}={{t}^{2}}-2t+4=f\left( t \right),$ trong đó $t=\sqrt{2x+2}$ và $-1\le x\le 1\Rightarrow 0\le t\le 2.$
Bảng biến thiên:
& M=4 \\
& m=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow M+m=7.$
Đáp án B.