Cho số phức $z$ thỏa $\left| {{z}_{1}}+1 \right|+\left|...

Cách 1:
Đặt: thì bất phương trình trên trở thành
Ta có
Suy ra
Vậy để thì .
Mặt khác, ta thấy nên suy ra bất phương trình xảy ra dấu "=" khi và chỉ khi số phức bằng 0, từ đó suy ra .
Ta có: quỹ tích của số phức là một hình tròn có tâm và bán kính
Khi ấy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức cũng chính là đường nối tâm và gốc tọa độ trừ cho bán kính, tức . Như vậy .
Cách 2:
Ta có:
Đặt: thì bất phương trình trên trở thành
Ta tách quỹ tích gốc thành hai quỹ tích thành phần nên bất phương trình trên tương đương với:
. Như vậy số phức sẽ có quỹ tích gồm 2 thành phần trên
Ở bất phương trình (1), ta nhận thấy nên suy ra bất phương trình xảy ra dấu "=" khi và chỉ khi số phức bằng 0
Ở bất phương trình (2), ta nhận thấy chỉ xảy ra dấu "=" khi tức số phức (cả phần thực và ảo đều bằng 0) nên từ đó ta suy ra , và cũng chính là gốc tọa độ trong mặt phẳng
Ta có: quỹ tích của số phức là một hình tròn có tâm và bán kính
Khi ấy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức cũng chính là đường nối tâm và gốc tọa độ trừ cho bán kính, tức . Như vậy .