Google
Câu hỏi: Cho số phức $z$ thỏa $\left| {{z}_{1}}+1 \right|+\left| {{z}_{1}}-1 \right|+\left| {{z}_{1}}-\overline{{{z}_{1}}}-4 \right|\le 6$ và $\left| {{z}_{2}}-5i \right|\le 2$ thì giá trị nhỏ nhất của $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=m$. Khẳng định đúng là
A. $m\in \left( 0;2 \right)$.
B. $m\in \left( 2;4 \right)$.
C. $m\in \left( 4;5 \right)$.
D. $m\in \left( 5;7 \right)$.
A. $m\in \left( 0;2 \right)$.
B. $m\in \left( 2;4 \right)$.
C. $m\in \left( 4;5 \right)$.
D. $m\in \left( 5;7 \right)$.
Cách 1:
Đặt: ${{z}_{1}}=a+bi$ thì bất phương trình trên trở thành $\left| {{z}_{1}}+1 \right|+\left| {{z}_{1}}-1 \right|+\left| 2bi-4 \right|\le 6$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \left| {{z}_{1}}+1 \right|+\left| {{z}_{1}}-1 \right|=\left| {{z}_{1}}+1 \right|+\left| 1-{{z}_{1}} \right|\ge \left| {{z}_{1}}+1+1-{{z}_{1}} \right|=2 \\
& \left| 2bi-4 \right|=\sqrt{4{{b}^{2}}+16}\ge 4 \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra $\left| {{z}_{1}}+1 \right|+\left| {{z}_{1}}-1 \right|+\left| 2bi-4 \right|\ge 6$
Vậy để $\left| {{z}_{1}}+1 \right|+\left| {{z}_{1}}-1 \right|+\left| {{z}_{1}}-\overline{{{z}_{1}}}-4 \right|\le 6$ thì $\left| {{z}_{1}}+1 \right|+\left| {{z}_{1}}-1 \right|+\left| {{z}_{1}}-\overline{{{z}_{1}}}-4 \right|=6$.
Mặt khác, ta thấy $2\ge \left| {{z}_{1}}+1 \right|+\left| {{z}_{1}}-1 \right|=\left| {{z}_{1}}+1 \right|+\left| 1-{{z}_{1}} \right|\ge \left| {{z}_{1}}+1+1-{{z}_{1}} \right|=2$ nên suy ra bất phương trình xảy ra dấu "=" khi và chỉ khi số phức ${{z}_{1}}$ bằng 0, từ đó suy ra $\left| {{z}_{1}}-\overline{{{z}_{1}}}-4 \right|=\left| 2bi-4 \right|=4\Rightarrow b=0$.
Ta có: $\left| {{z}_{2}}-5i \right|\le 2$ $\Rightarrow $ quỹ tích của số phức ${{z}_{2}}$ là một hình tròn có tâm $I\left( 0;5 \right)$ và bán kính $R=2$
Khi ấy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ cũng chính là đường nối tâm và gốc tọa độ trừ cho bán kính, tức $m=\min \left( \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right| \right)=OI-R=5-2=3$. Như vậy $m=3\in \left( 2;4 \right)$.
Cách 2:
Ta có: $\left| {{z}_{1}}+1 \right|+\left| {{z}_{1}}-1 \right|+\left| {{z}_{1}}-\overline{{{z}_{1}}}-4 \right|\le 6$
Đặt: ${{z}_{1}}=a+bi$ thì bất phương trình trên trở thành $\Rightarrow \left| {{z}_{1}}+1 \right|+\left| {{z}_{1}}-1 \right|+\left| 2bi-4 \right|\le 6$
Ta tách quỹ tích gốc thành hai quỹ tích thành phần nên bất phương trình trên tương đương với:
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| {{z}_{1}}+1 \right|+\left| {{z}_{1}}-1 \right|\le 2,(1) \\
& \left| 2bi-4 \right|\le 4,(2) \\
\end{aligned} \right. $. Như vậy số phức $ {{z}_{1}}$ sẽ có quỹ tích gồm 2 thành phần trên
Ở bất phương trình (1), ta nhận thấy $2\ge \left| {{z}_{1}}+1 \right|+\left| {{z}_{1}}-1 \right|=\left| {{z}_{1}}+1 \right|+\left| 1-{{z}_{1}} \right|\ge \left| {{z}_{1}}+1+1-{{z}_{1}} \right|=2$ nên suy ra bất phương trình xảy ra dấu "=" khi và chỉ khi số phức ${{z}_{1}}$ bằng 0
Ở bất phương trình (2), ta nhận thấy $\left| 2bi-4 \right|\le 4$ chỉ xảy ra dấu "=" khi $b=0$ tức số phức ${{z}_{1}}=0$ (cả phần thực và ảo đều bằng 0) nên từ đó ta suy ra ${{z}_{1}}=0$, và cũng chính là gốc tọa độ trong mặt phẳng $Oxy$
Ta có: $\left| {{z}_{2}}-5i \right|\le 2$ $\Rightarrow $ quỹ tích của số phức ${{z}_{2}}$ là một hình tròn có tâm $I\left( 0;5 \right)$ và bán kính $R=2$
Khi ấy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ cũng chính là đường nối tâm và gốc tọa độ trừ cho bán kính, tức $m=\min \left( \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right| \right)=OI-R=5-2=3$. Như vậy $m=3\in \left( 2;4 \right)$.
Đặt: ${{z}_{1}}=a+bi$ thì bất phương trình trên trở thành $\left| {{z}_{1}}+1 \right|+\left| {{z}_{1}}-1 \right|+\left| 2bi-4 \right|\le 6$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \left| {{z}_{1}}+1 \right|+\left| {{z}_{1}}-1 \right|=\left| {{z}_{1}}+1 \right|+\left| 1-{{z}_{1}} \right|\ge \left| {{z}_{1}}+1+1-{{z}_{1}} \right|=2 \\
& \left| 2bi-4 \right|=\sqrt{4{{b}^{2}}+16}\ge 4 \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra $\left| {{z}_{1}}+1 \right|+\left| {{z}_{1}}-1 \right|+\left| 2bi-4 \right|\ge 6$
Vậy để $\left| {{z}_{1}}+1 \right|+\left| {{z}_{1}}-1 \right|+\left| {{z}_{1}}-\overline{{{z}_{1}}}-4 \right|\le 6$ thì $\left| {{z}_{1}}+1 \right|+\left| {{z}_{1}}-1 \right|+\left| {{z}_{1}}-\overline{{{z}_{1}}}-4 \right|=6$.
Mặt khác, ta thấy $2\ge \left| {{z}_{1}}+1 \right|+\left| {{z}_{1}}-1 \right|=\left| {{z}_{1}}+1 \right|+\left| 1-{{z}_{1}} \right|\ge \left| {{z}_{1}}+1+1-{{z}_{1}} \right|=2$ nên suy ra bất phương trình xảy ra dấu "=" khi và chỉ khi số phức ${{z}_{1}}$ bằng 0, từ đó suy ra $\left| {{z}_{1}}-\overline{{{z}_{1}}}-4 \right|=\left| 2bi-4 \right|=4\Rightarrow b=0$.
Ta có: $\left| {{z}_{2}}-5i \right|\le 2$ $\Rightarrow $ quỹ tích của số phức ${{z}_{2}}$ là một hình tròn có tâm $I\left( 0;5 \right)$ và bán kính $R=2$
Khi ấy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ cũng chính là đường nối tâm và gốc tọa độ trừ cho bán kính, tức $m=\min \left( \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right| \right)=OI-R=5-2=3$. Như vậy $m=3\in \left( 2;4 \right)$.
Cách 2:
Ta có: $\left| {{z}_{1}}+1 \right|+\left| {{z}_{1}}-1 \right|+\left| {{z}_{1}}-\overline{{{z}_{1}}}-4 \right|\le 6$
Đặt: ${{z}_{1}}=a+bi$ thì bất phương trình trên trở thành $\Rightarrow \left| {{z}_{1}}+1 \right|+\left| {{z}_{1}}-1 \right|+\left| 2bi-4 \right|\le 6$
Ta tách quỹ tích gốc thành hai quỹ tích thành phần nên bất phương trình trên tương đương với:
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| {{z}_{1}}+1 \right|+\left| {{z}_{1}}-1 \right|\le 2,(1) \\
& \left| 2bi-4 \right|\le 4,(2) \\
\end{aligned} \right. $. Như vậy số phức $ {{z}_{1}}$ sẽ có quỹ tích gồm 2 thành phần trên
Ở bất phương trình (1), ta nhận thấy $2\ge \left| {{z}_{1}}+1 \right|+\left| {{z}_{1}}-1 \right|=\left| {{z}_{1}}+1 \right|+\left| 1-{{z}_{1}} \right|\ge \left| {{z}_{1}}+1+1-{{z}_{1}} \right|=2$ nên suy ra bất phương trình xảy ra dấu "=" khi và chỉ khi số phức ${{z}_{1}}$ bằng 0
Ở bất phương trình (2), ta nhận thấy $\left| 2bi-4 \right|\le 4$ chỉ xảy ra dấu "=" khi $b=0$ tức số phức ${{z}_{1}}=0$ (cả phần thực và ảo đều bằng 0) nên từ đó ta suy ra ${{z}_{1}}=0$, và cũng chính là gốc tọa độ trong mặt phẳng $Oxy$
Ta có: $\left| {{z}_{2}}-5i \right|\le 2$ $\Rightarrow $ quỹ tích của số phức ${{z}_{2}}$ là một hình tròn có tâm $I\left( 0;5 \right)$ và bán kính $R=2$
Khi ấy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ cũng chính là đường nối tâm và gốc tọa độ trừ cho bán kính, tức $m=\min \left( \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right| \right)=OI-R=5-2=3$. Như vậy $m=3\in \left( 2;4 \right)$.
Đáp án B.