Google
Câu hỏi: Cho số phức $z$ thỏa $\left| z-1-i \right|=\sqrt{13}$. Gọi $M$, $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $P=\left| z+3-2i \right|+2\left| \bar{z}-5 \right|$.
Tính $M+m$.
A. $M+m=4\sqrt{15}+5\sqrt{3}$.
B. $M+m=10\sqrt{3}+2\sqrt{15}$.
C. $M+m=5\sqrt{3}+2\sqrt{15}$.
D. $M+m=2\sqrt{15}+8\sqrt{3}$.
Tính $M+m$.
A. $M+m=4\sqrt{15}+5\sqrt{3}$.
B. $M+m=10\sqrt{3}+2\sqrt{15}$.
C. $M+m=5\sqrt{3}+2\sqrt{15}$.
D. $M+m=2\sqrt{15}+8\sqrt{3}$.
Đặt $z=a+bi$ (với $a,b\in \mathbb{R}$ ).
Khi đó: $\left| z-1-i \right|=\sqrt{13}\Leftrightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}=13\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=2a+2b+11$.
Suy ra $P=\left| z+3-2i \right|+2\left| \bar{z}+2+2i \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+6a-4b+13}+2\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-10a+25}$ $=\sqrt{8a-2b+24}+2\sqrt{-8a+2b+36}$.
Xét hàm số $f\left( t \right)=\sqrt{t+24}+2\sqrt{36-t}$ với $t=8a-2b$.
Ta có ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{2\sqrt{t+24}}-\dfrac{2}{2\sqrt{36-t}}$ ; với $t\in \left( -24 ; 36 \right)$.
${f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow \dfrac{1}{t+24}=\dfrac{4}{36-t}\Leftrightarrow 5t=-60\Leftrightarrow t=-12$.
Bảng biến thiên
Suy ra ${{P}_{\max }}=10\sqrt{3}$, ${{P}_{\min }}=2\sqrt{15}$. Vậy $M+m=10\sqrt{3}+2\sqrt{15}$.
Khi đó: $\left| z-1-i \right|=\sqrt{13}\Leftrightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}=13\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=2a+2b+11$.
Suy ra $P=\left| z+3-2i \right|+2\left| \bar{z}+2+2i \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+6a-4b+13}+2\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-10a+25}$ $=\sqrt{8a-2b+24}+2\sqrt{-8a+2b+36}$.
Xét hàm số $f\left( t \right)=\sqrt{t+24}+2\sqrt{36-t}$ với $t=8a-2b$.
Ta có ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{2\sqrt{t+24}}-\dfrac{2}{2\sqrt{36-t}}$ ; với $t\in \left( -24 ; 36 \right)$.
${f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow \dfrac{1}{t+24}=\dfrac{4}{36-t}\Leftrightarrow 5t=-60\Leftrightarrow t=-12$.
Bảng biến thiên
Đáp án B.