Google
Câu hỏi: Cho số phức $z$ thay đổi thoả mãn $\left| z \right|=\left| z-4-4i \right|$. Gọi $S$ là tập hợp các số phức $\text{w}=\dfrac{8z}{\left| {{z}^{2}} \right|}$. Biết rằng ${{w}_{1}},{{w}_{2}}$ là hai số thuộc $S$ sao cho $\left| {{w}_{1}}-{{w}_{2}} \right|=2$, khi đó mô đun của số phức ${{w}_{1}}+{{w}_{2}}-2-2i$ bằng
A. $4$.
B. $2$.
C. $2\sqrt{2}$.
D. $1$.
A. $4$.
B. $2$.
C. $2\sqrt{2}$.
D. $1$.
$\text{w}=\dfrac{8z}{\left| {{z}^{2}} \right|}=\dfrac{8z}{{{\left| z \right|}^{2}}}=\dfrac{8z}{z.\overline{z}}=\dfrac{8}{\overline{z}}$ $\Rightarrow \overline{z}=\dfrac{8}{w}$
Theo giả thiết ta có $\left| z \right|=\left| z-4-4i \right|$ $\Rightarrow \left| \dfrac{8}{\overline{w}} \right|=\left| \dfrac{8}{\overline{w}}-4-4i \right|$
$\Leftrightarrow 8=\left| 8-\left( 4+4i \right)\overline{w} \right|\Leftrightarrow \dfrac{8}{4\sqrt{2}}=\left| 1-i-\overline{w} \right|$
$\Leftrightarrow \left| w-1-i \right|=\sqrt{2}$
Đặt $t=w-1-i\Rightarrow \left| t \right|=\sqrt{2}$
$\left| {{t}_{1}}-{{t}_{2}} \right|=\left| {{w}_{1}}-{{w}_{2}} \right|=2$
$\Rightarrow {{\left| {{w}_{1}}+{{w}_{2}}-2-2i \right|}^{2}}={{\left| {{t}_{1}}+{{t}_{2}} \right|}^{2}}$ $=2\left( {{\left| {{t}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{t}_{2}} \right|}^{2}} \right)-{{\left| {{t}_{1}}-{{t}_{2}} \right|}^{2}}$
$=2\left( 2+2 \right)-4=4$
$\Rightarrow \left| {{w}_{1}}+{{w}_{2}}-2-2i \right|=4$.
Theo giả thiết ta có $\left| z \right|=\left| z-4-4i \right|$ $\Rightarrow \left| \dfrac{8}{\overline{w}} \right|=\left| \dfrac{8}{\overline{w}}-4-4i \right|$
$\Leftrightarrow 8=\left| 8-\left( 4+4i \right)\overline{w} \right|\Leftrightarrow \dfrac{8}{4\sqrt{2}}=\left| 1-i-\overline{w} \right|$
$\Leftrightarrow \left| w-1-i \right|=\sqrt{2}$
Đặt $t=w-1-i\Rightarrow \left| t \right|=\sqrt{2}$
$\left| {{t}_{1}}-{{t}_{2}} \right|=\left| {{w}_{1}}-{{w}_{2}} \right|=2$
$\Rightarrow {{\left| {{w}_{1}}+{{w}_{2}}-2-2i \right|}^{2}}={{\left| {{t}_{1}}+{{t}_{2}} \right|}^{2}}$ $=2\left( {{\left| {{t}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{t}_{2}} \right|}^{2}} \right)-{{\left| {{t}_{1}}-{{t}_{2}} \right|}^{2}}$
$=2\left( 2+2 \right)-4=4$
$\Rightarrow \left| {{w}_{1}}+{{w}_{2}}-2-2i \right|=4$.
Đáp án B.