Google
Câu hỏi: Cho số phức $z$ thay đổi thỏa mãn $\left| z-1 \right|+\left| z-i \right|=4$. Gọi $\left( C \right)$ là đường cong tạo bởi tất cả các điểm biểu diễn số phức $\left( z-2i \right)\left( 2i+1 \right)$ khi $z$ thay đổi. Tính diện tích $S$ hình phẳng giới hạn bởi đường cong $\left( C \right)$.
A. $S=5\pi \sqrt{7}$.
B. $S=10\pi \sqrt{7}$.
C. $S=5\pi \sqrt{14}$.
D. $S=10\pi \sqrt{14}$.
A. $S=5\pi \sqrt{7}$.
B. $S=10\pi \sqrt{7}$.
C. $S=5\pi \sqrt{14}$.
D. $S=10\pi \sqrt{14}$.
Đặt $\left( z-2i \right)\left( 2i+1 \right)=x+yi\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& z-2i=\dfrac{x+yi}{2i+1}\Rightarrow z-i=\dfrac{x-2+\left( y+1 \right)i}{2i+1} \\
& z-1=\dfrac{x+yi}{2i+1}+2i-1=\dfrac{x-5+yi}{2i+1} \\
\end{aligned} \right.$
Ta có: $\left| z-1 \right|+\left| z-i \right|=4\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=4\sqrt{5}$ (1)
Gọi $M\left( x;y \right)$ là điểm biểu diễn số phức $\left( z-2i \right)\left( 2i+1 \right)$ khi $z$ thay đổi.
${{F}_{1}}\left( 2;-1 \right),{{F}_{2}}\left( 5;0 \right)$.
Từ (1) ta có: $M{{F}_{1}}+M{{F}_{2}}=4\sqrt{5}$.
Do đó quỹ tích điểm $M$ là elip nhận ${{F}_{1}},{{F}_{2}}$ là hai tiêu điểm.
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 4\sqrt{5}=2a\Rightarrow a=2\sqrt{5} \\
& {{F}_{1}}{{F}_{2}}=2c=\sqrt{10}\Rightarrow c=\dfrac{\sqrt{10}}{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow b=\sqrt{{{a}^{2}}-{{c}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{70}}{2}$
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là ${{S}_{\left( C \right)}}=\pi ab=5\pi \sqrt{14}$.
& z-2i=\dfrac{x+yi}{2i+1}\Rightarrow z-i=\dfrac{x-2+\left( y+1 \right)i}{2i+1} \\
& z-1=\dfrac{x+yi}{2i+1}+2i-1=\dfrac{x-5+yi}{2i+1} \\
\end{aligned} \right.$
Ta có: $\left| z-1 \right|+\left| z-i \right|=4\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=4\sqrt{5}$ (1)
Gọi $M\left( x;y \right)$ là điểm biểu diễn số phức $\left( z-2i \right)\left( 2i+1 \right)$ khi $z$ thay đổi.
${{F}_{1}}\left( 2;-1 \right),{{F}_{2}}\left( 5;0 \right)$.
Từ (1) ta có: $M{{F}_{1}}+M{{F}_{2}}=4\sqrt{5}$.
Do đó quỹ tích điểm $M$ là elip nhận ${{F}_{1}},{{F}_{2}}$ là hai tiêu điểm.
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 4\sqrt{5}=2a\Rightarrow a=2\sqrt{5} \\
& {{F}_{1}}{{F}_{2}}=2c=\sqrt{10}\Rightarrow c=\dfrac{\sqrt{10}}{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow b=\sqrt{{{a}^{2}}-{{c}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{70}}{2}$
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là ${{S}_{\left( C \right)}}=\pi ab=5\pi \sqrt{14}$.
Đáp án C.
