Google
Câu hỏi: Cho số phức $z\ne 0$ thoả mãn $z\sqrt{3z\overline{z}+1}=\left| z \right|\left( 2+6iz \right).$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $\dfrac{1}{4}<\left| z \right|<\dfrac{1}{3}.$
B. $\dfrac{1}{3}<\left| z \right|<\dfrac{1}{2}.$
C. $\dfrac{1}{2}<\left| z \right|<1.$
D. $\left| z \right|<\dfrac{1}{4}.$
A. $\dfrac{1}{4}<\left| z \right|<\dfrac{1}{3}.$
B. $\dfrac{1}{3}<\left| z \right|<\dfrac{1}{2}.$
C. $\dfrac{1}{2}<\left| z \right|<1.$
D. $\left| z \right|<\dfrac{1}{4}.$
$z\sqrt{3z\overline{z}+1}=\left| z \right|\left( 2+6iz \right)\Leftrightarrow z\left( \sqrt{3z\overline{z}+1}-6i\left| z \right| \right)=2\left| z \right|.$
Ta thấy $\sqrt{3z\overline{z}+1}-6i\left| z \right|$ là số phức có phần thực là $\sqrt{3z\overline{z}+1}$ và phần ảo là $6\left| z \right|.$
Suy ra $\left| z \right|\left( \sqrt{3z\overline{z}+1+36{{\left| z \right|}^{2}}} \right)=2\left| z \right|$
$\Leftrightarrow 3z\overline{z}+1+36{{\left| z \right|}^{2}}=4\Leftrightarrow 3{{\left| z \right|}^{2}}+1+36{{\left| z \right|}^{2}}=4\Leftrightarrow {{\left| z \right|}^{2}}=\dfrac{1}{13}\Rightarrow \left| z \right|=\dfrac{\sqrt{13}}{13}.$
Ta thấy $\sqrt{3z\overline{z}+1}-6i\left| z \right|$ là số phức có phần thực là $\sqrt{3z\overline{z}+1}$ và phần ảo là $6\left| z \right|.$
Suy ra $\left| z \right|\left( \sqrt{3z\overline{z}+1+36{{\left| z \right|}^{2}}} \right)=2\left| z \right|$
$\Leftrightarrow 3z\overline{z}+1+36{{\left| z \right|}^{2}}=4\Leftrightarrow 3{{\left| z \right|}^{2}}+1+36{{\left| z \right|}^{2}}=4\Leftrightarrow {{\left| z \right|}^{2}}=\dfrac{1}{13}\Rightarrow \left| z \right|=\dfrac{\sqrt{13}}{13}.$
Đáp án A.