Cho số phức $z={{\left( \dfrac{2+6i}{3-i} \right)}^{m}},m$ nguyên...

Ta có $z={{\left( \dfrac{2+6i}{3-i} \right)}^{m}}={{\left( \dfrac{\left( 2+6i \right)\left( 3+i \right)}{\left( 3-i \right)\left( 3+i \right)} \right)}^{m}}={{\left( 2i \right)}^{m}}={{2}^{m}}.{{i}^{m}}$
+ Với $m=4k\left( k\in \mathbb{Z} \right)$ thì $z={{2}^{m}}$
+ Với $m=4k+2\left( k\in \mathbb{Z} \right)$ thì $z=-{{2}^{m}}$
+ Với $m=4k+1\left( k\in \mathbb{Z} \right)$ thì $z={{2}^{m}}.i$
+ Với $m=4k+3\left( k\in \mathbb{Z} \right)$ thì $z=-{{2}^{m}}.i$
Vậy để z là số thuần ảo thì $\left[ \begin{aligned}
& m=4k+1 \\
& m=4k+3 \\
\end{aligned} \right.\left( k\in \mathbb{Z} \right) $ mà $ 1\le m\le 50$
Nên $\left[ \begin{aligned}
& 1\le 4k+1\le 50 \\
& 1\le 4k+3\le 50 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 0\le 4k\le 49 \\
& -2\le 4k\le 47 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 0\le k\le 12,25 \\
& -0,5\le k\le 11,75 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& k\in \left\{ 0;1;2;3;...;12 \right\} \\
& k\in \left\{ 0;1;2;....;11 \right\} \\
\end{aligned} \right.$
Vậy có tất cả $13+12=25$ giá trị của k thỏa mãn điều kiện, tức cũng có 25 giá trị của m thỏa mãn điều kiện đề bài.