Cho số phức $z = {(\frac{2 + 6 i}{3 - i})}^{m}, m$ nguyên...

The Professor · 16/12/21

Câu hỏi: Cho số phức

z = {(\frac{2 + 6 i}{3 - i})}^{m}, m

nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị

m \in [1; 50]

để z là số thuần ảo?
A. 25.
B. 50.
C. 26.
D. 24.

Ta có

z = {(\frac{2 + 6 i}{3 - i})}^{m} = {(\frac{(2 + 6 i) (3 + i)}{(3 - i) (3 + i)})}^{m} = {(2 i)}^{m} = 2^{m} . i^{m}

+ Với

m = 4 k (k \in Z)

thì

z = 2^{m}

+ Với

m = 4 k + 2 (k \in Z)

thì

z = - 2^{m}

+ Với

m = 4 k + 1 (k \in Z)

thì

z = 2^{m} . i

+ Với

m = 4 k + 3 (k \in Z)

thì

z = - 2^{m} . i

Vậy để z là số thuần ảo thì

[\begin{aligned} m = 4 k + 1 \\ m = 4 k + 3 \end{aligned} (k \in Z)

mà

1 \leq m \leq 50

Nên

[\begin{aligned} 1 \leq 4 k + 1 \leq 50 \\ 1 \leq 4 k + 3 \leq 50 \end{aligned} \Leftrightarrow [\begin{aligned} 0 \leq 4 k \leq 49 \\ - 2 \leq 4 k \leq 47 \end{aligned} \Leftrightarrow [\begin{aligned} 0 \leq k \leq 12, 25 \\ - 0, 5 \leq k \leq 11, 75 \end{aligned} \Rightarrow {\begin{aligned} k \in {0; 1; 2; 3; . . .; 12} \\ k \in {0; 1; 2; . . . .; 11} \end{aligned}

Vậy có tất cả

13 + 12 = 25

giá trị của k thỏa mãn điều kiện, tức cũng có 25 giá trị của m thỏa mãn điều kiện đề bài.

Đáp án A.

Cho số phức z=(2+6i3−i)m,m nguyên...