Google
Câu hỏi: Cho số phức $z={{\left( \dfrac{1+i}{1-i} \right)}^{2019}}$. Tính ${{z}^{5}}+{{z}^{6}}+{{z}^{7}}+{{z}^{8}}$.
A. i
B. 1
C. 0
D. -i
A. i
B. 1
C. 0
D. -i
Cách 1: Ta có $\dfrac{1+i}{1-i}=\dfrac{{{\left( 1+i \right)}^{2}}}{1-{{i}^{2}}}=\dfrac{1+2i+{{i}^{2}}}{1+1}=\dfrac{1+2i-1}{2}=i$
Vậy $z={{i}^{2019}}={{\left( {{i}^{2}} \right)}^{1009}}i={{\left( -1 \right)}^{1009}}i=-i$
Do đó ${{z}^{5}}={{\left( -i \right)}^{5}}=-{{i}^{5}}=-{{\left( i \right)}^{2}}i=-{{\left( -1 \right)}^{2}}i=-i$ ;
${{z}^{6}}={{z}^{5}}.z=\left( -i \right).\left( -i \right)={{i}^{2}}=-1$ ;
${{z}^{7}}={{z}^{6}}.z=\left( -1 \right)\left( -i \right)=i$ ;
${{z}^{8}}={{z}^{7}}.z=i.\left( -i \right)=-{{i}^{2}}=1$
Vậy ${{z}^{5}}+{{z}^{6}}+{{z}^{7}}+{{z}^{8}}=0$.
Cách 2: (sử dụng MTCT)
Tính ${{\left( \dfrac{1+i}{1-i} \right)}^{2019}}$ rồi lưu vào biến A.
Tính giá trị biểu thức ${{A}^{5}}+{{A}^{6}}+{{A}^{7}}+{{A}^{8}}$
Vậy $z={{i}^{2019}}={{\left( {{i}^{2}} \right)}^{1009}}i={{\left( -1 \right)}^{1009}}i=-i$
Do đó ${{z}^{5}}={{\left( -i \right)}^{5}}=-{{i}^{5}}=-{{\left( i \right)}^{2}}i=-{{\left( -1 \right)}^{2}}i=-i$ ;
${{z}^{6}}={{z}^{5}}.z=\left( -i \right).\left( -i \right)={{i}^{2}}=-1$ ;
${{z}^{7}}={{z}^{6}}.z=\left( -1 \right)\left( -i \right)=i$ ;
${{z}^{8}}={{z}^{7}}.z=i.\left( -i \right)=-{{i}^{2}}=1$
Vậy ${{z}^{5}}+{{z}^{6}}+{{z}^{7}}+{{z}^{8}}=0$.
Cách 2: (sử dụng MTCT)
Tính ${{\left( \dfrac{1+i}{1-i} \right)}^{2019}}$ rồi lưu vào biến A.
Đáp án C.