Google
Câu hỏi: Cho số phức $z={{\left( 1+i \right)}^{2}}+{{\left( 1+i \right)}^{3}}+...+{{\left( 1+i \right)}^{22}}$. Phần thực của số phức là
A. $-{{2}^{11}}.$
B. $-{{2}^{11}}+2.$
C. $-{{2}^{11}}-2.$
D. ${{2}^{11}}.$
A. $-{{2}^{11}}.$
B. $-{{2}^{11}}+2.$
C. $-{{2}^{11}}-2.$
D. ${{2}^{11}}.$
$\begin{aligned}
& z={{\left( 1+i \right)}^{2}}+{{\left( 1+i \right)}^{3}}+...+{{\left( 1+i \right)}^{22}} \\
& ={{\left( 1+i \right)}^{2}}\left[ 1+\left( 1+i \right)+...+{{\left( 1+i \right)}^{20}} \right]=\dfrac{{{\left( 1+i \right)}^{2}}\left[ {{\left( 1+i \right)}^{21}}-1 \right]}{\left( 1+i \right)-1} \\
\end{aligned}$
Ta có ${{\left( 1+i \right)}^{2}}=1+2i+{{i}^{2}}=1+2i-1=2i.$
Do đó
$z=\dfrac{\left( 2i \right)\left[ {{\left( 2i \right)}^{10}}\left( 1+i \right)-1 \right]}{i}=2\left[ -{{2}^{10}}\left( 1+i \right)-1 \right]=2\left[ -\left( {{2}^{10}}+1 \right)-{{2}^{10}}i \right]=-{{2}^{11}}-2-{{2}^{11}}i.$
Vậy phần thực của số phức $z$ là $-{{2}^{11}}-2$
& z={{\left( 1+i \right)}^{2}}+{{\left( 1+i \right)}^{3}}+...+{{\left( 1+i \right)}^{22}} \\
& ={{\left( 1+i \right)}^{2}}\left[ 1+\left( 1+i \right)+...+{{\left( 1+i \right)}^{20}} \right]=\dfrac{{{\left( 1+i \right)}^{2}}\left[ {{\left( 1+i \right)}^{21}}-1 \right]}{\left( 1+i \right)-1} \\
\end{aligned}$
Ta có ${{\left( 1+i \right)}^{2}}=1+2i+{{i}^{2}}=1+2i-1=2i.$
Do đó
$z=\dfrac{\left( 2i \right)\left[ {{\left( 2i \right)}^{10}}\left( 1+i \right)-1 \right]}{i}=2\left[ -{{2}^{10}}\left( 1+i \right)-1 \right]=2\left[ -\left( {{2}^{10}}+1 \right)-{{2}^{10}}i \right]=-{{2}^{11}}-2-{{2}^{11}}i.$
Vậy phần thực của số phức $z$ là $-{{2}^{11}}-2$
Đáp án C.