Google
Câu hỏi: Cho số phức $z=\dfrac{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}},$ biết $\left| {{z}_{2}} \right|=5\left| {{z}_{1}} \right|$ và $\left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{2}\left| {{z}_{2}}-3{{z}_{1}} \right|.$ Phần thực của z bằng
A. $\dfrac{55}{12}.$
B. $\dfrac{12}{55}.$
C. $-\dfrac{55}{12}.$
D. $-\dfrac{12}{55}.$
A. $\dfrac{55}{12}.$
B. $\dfrac{12}{55}.$
C. $-\dfrac{55}{12}.$
D. $-\dfrac{12}{55}.$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \left| {{z}_{2}} \right|=5\left| {{z}_{1}} \right| \\
& \left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{2}\left| {{z}_{2}}-3{{z}_{1}} \right| \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| \dfrac{{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}} \right|=5 \\
& \left| \dfrac{{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}} \right|=\sqrt{2}\left| \dfrac{{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}}-3 \right| \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| w \right|=5 \\
& \left| w \right|=\sqrt{2}\left| w-3 \right| \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| w \right|=5 \\
& \left| w-3 \right|=\dfrac{5}{\sqrt{2}} \\
\end{aligned} \right.$
Với $w=\dfrac{{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}}=a+bi$ khi đó $\left( * \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=25 \\
& {{\left( a-3 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}=\dfrac{25}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow a=\dfrac{43}{12}.$
$\Rightarrow z=\dfrac{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}}=1+w=1+a+bi=1+\dfrac{43}{12}+bi=\dfrac{55}{12}+bi$
Vậy phần thực của số phức là $\dfrac{55}{12}.$
& \left| {{z}_{2}} \right|=5\left| {{z}_{1}} \right| \\
& \left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{2}\left| {{z}_{2}}-3{{z}_{1}} \right| \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| \dfrac{{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}} \right|=5 \\
& \left| \dfrac{{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}} \right|=\sqrt{2}\left| \dfrac{{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}}-3 \right| \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| w \right|=5 \\
& \left| w \right|=\sqrt{2}\left| w-3 \right| \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| w \right|=5 \\
& \left| w-3 \right|=\dfrac{5}{\sqrt{2}} \\
\end{aligned} \right.$
Với $w=\dfrac{{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}}=a+bi$ khi đó $\left( * \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=25 \\
& {{\left( a-3 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}=\dfrac{25}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow a=\dfrac{43}{12}.$
$\Rightarrow z=\dfrac{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}}=1+w=1+a+bi=1+\dfrac{43}{12}+bi=\dfrac{55}{12}+bi$
Vậy phần thực của số phức là $\dfrac{55}{12}.$
Đáp án A.