Google
Câu hỏi: Cho số phức $z=\dfrac{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}}$, biết $\left| {{z}_{2}} \right|=5\left| {{z}_{1}} \right|$ và $\left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{2}\left| {{z}_{2}}-3{{z}_{1}} \right|.$ Phần thực của z bằng
A. $\dfrac{55}{12}.$
B. $\dfrac{12}{55}.$
C. $-\dfrac{55}{12}.$
D. $-\dfrac{12}{55}.$
A. $\dfrac{55}{12}.$
B. $\dfrac{12}{55}.$
C. $-\dfrac{55}{12}.$
D. $-\dfrac{12}{55}.$
HD: Ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& \left| {{z}_{2}} \right|=5\left| {{z}_{1}} \right| \\
& \left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{2}\left| {{z}_{2}}-3{{z}_{1}} \right| \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| \dfrac{{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}} \right|=5 \\
& \left| \dfrac{{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}} \right|=\sqrt{2}\left| \dfrac{{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}}-3 \right| \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| w \right|=5 \\
& \left| w \right|=\sqrt{2}\left| w-3 \right| \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| w \right|=5 \\
& \left| w-3 \right|=\dfrac{5\sqrt{2}}{2} \\
\end{aligned} \right.\left( * \right)$
Đặt $w=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right),$ khi đó $\left( * \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=25 \\
& {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=\dfrac{25}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=\dfrac{43}{12}.$
Vậy phần thực của số phức $z=\dfrac{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}}$ là $\operatorname{Re}\left( z \right)=\operatorname{Re}\left( 1+\dfrac{{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}} \right)=1+\dfrac{43}{12}=\dfrac{55}{12}.$
$\left\{ \begin{aligned}
& \left| {{z}_{2}} \right|=5\left| {{z}_{1}} \right| \\
& \left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{2}\left| {{z}_{2}}-3{{z}_{1}} \right| \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| \dfrac{{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}} \right|=5 \\
& \left| \dfrac{{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}} \right|=\sqrt{2}\left| \dfrac{{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}}-3 \right| \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| w \right|=5 \\
& \left| w \right|=\sqrt{2}\left| w-3 \right| \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| w \right|=5 \\
& \left| w-3 \right|=\dfrac{5\sqrt{2}}{2} \\
\end{aligned} \right.\left( * \right)$
Đặt $w=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right),$ khi đó $\left( * \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=25 \\
& {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=\dfrac{25}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=\dfrac{43}{12}.$
Vậy phần thực của số phức $z=\dfrac{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}}$ là $\operatorname{Re}\left( z \right)=\operatorname{Re}\left( 1+\dfrac{{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}} \right)=1+\dfrac{43}{12}=\dfrac{55}{12}.$
Đáp án A.