Cho số phức $z=\dfrac{i-m}{1-m\left( m-2i \right)},m\in...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Cho số phức

z = \frac{i - m}{1 - m (m - 2 i)}, m \in R

. Xác định giá trị nhỏ nhất của số thực

k

sao cho tồn tại

m

để

| z - 1 | \leq k

A.

k = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}

.
B.

k = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}

.
C.

k = \sqrt{5} - 1

.
D.

k = \sqrt{3} - 1

.

Ta có

z = \frac{i - m}{- i^{2} + 2 m i - m^{2}} = \frac{- 1}{i - m} \Rightarrow z - 1 = \frac{1 - m + i}{m - i}

| z - 1 | = \frac{| 1 - m + i |}{| m - i |} = \sqrt{\frac{m^{2} - 2 m + 2}{m^{2} + 1}}

\Rightarrow | z - 1 | \leq k \Leftrightarrow {\begin{aligned} k \geq 0 \\ \frac{m^{2} - 2 m + 2}{m^{2} + 1} \leq k^{2} \end{aligned}

Xét hàm số

f (m) = \frac{m^{2} - 2 m + 2}{m^{2} + 1}

.
Ta có

f^{'} (m) = \frac{2 (m^{2} - m - 1)}{{(m^{2} + 1)}^{2}} \Rightarrow f^{'} (m) = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}

Lập bảng biến thiên ta có

min f (m) = f (\frac{1 + \sqrt{5}}{2}) = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}

.

\Rightarrow

Yêu cầu bài toán

\Leftrightarrow k^{2} \geq \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \Leftrightarrow k \geq \sqrt{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}

.
Vậy

k = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}

là giá trị phải tìm.

Đáp án A.