Google
Câu hỏi: Cho số phức $z=\dfrac{i-m}{1-m\left( m-2i \right)},m\in \mathbb{R}$. Xác định giá trị nhỏ nhất của số thực $k$ sao cho tồn tại $m$ để $\left| z-1 \right|\le k$
A. $k=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$.
B. $k=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$.
C. $k=\sqrt{5}-1$.
D. $k=\sqrt{3}-1$.
A. $k=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$.
B. $k=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$.
C. $k=\sqrt{5}-1$.
D. $k=\sqrt{3}-1$.
Ta có $z=\dfrac{i-m}{-{{i}^{2}}+2mi-{{m}^{2}}}=\dfrac{-1}{i-m}\Rightarrow z-1=\dfrac{1-m+i}{m-i}$
$\left| z-1 \right|=\dfrac{\left| 1-m+i \right|}{\left| m-i \right|}=\sqrt{\dfrac{{{m}^{2}}-2m+2}{{{m}^{2}}+1}}$
$\Rightarrow \left| z-1 \right|\le k\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& k\ge 0 \\
& \dfrac{{{m}^{2}}-2m+2}{{{m}^{2}}+1}\le {{k}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$
Xét hàm số $f\left( m \right)=\dfrac{{{m}^{2}}-2m+2}{{{m}^{2}}+1}$.
Ta có ${f}'\left( m \right)=\dfrac{2\left( {{m}^{2}}-m-1 \right)}{{{\left( {{m}^{2}}+1 \right)}^{2}}}\Rightarrow {f}'\left( m \right)=0\Leftrightarrow m=\dfrac{1\pm \sqrt{5}}{2}$
Lập bảng biến thiên ta có $\min f\left( m \right)=f\left( \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \right)=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$.
$\Rightarrow $ Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow {{k}^{2}}\ge \dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\Leftrightarrow k\ge \sqrt{\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$.
Vậy $k=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$ là giá trị phải tìm.
$\left| z-1 \right|=\dfrac{\left| 1-m+i \right|}{\left| m-i \right|}=\sqrt{\dfrac{{{m}^{2}}-2m+2}{{{m}^{2}}+1}}$
$\Rightarrow \left| z-1 \right|\le k\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& k\ge 0 \\
& \dfrac{{{m}^{2}}-2m+2}{{{m}^{2}}+1}\le {{k}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$
Xét hàm số $f\left( m \right)=\dfrac{{{m}^{2}}-2m+2}{{{m}^{2}}+1}$.
Ta có ${f}'\left( m \right)=\dfrac{2\left( {{m}^{2}}-m-1 \right)}{{{\left( {{m}^{2}}+1 \right)}^{2}}}\Rightarrow {f}'\left( m \right)=0\Leftrightarrow m=\dfrac{1\pm \sqrt{5}}{2}$
Lập bảng biến thiên ta có $\min f\left( m \right)=f\left( \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \right)=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$.
$\Rightarrow $ Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow {{k}^{2}}\ge \dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\Leftrightarrow k\ge \sqrt{\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$.
Vậy $k=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$ là giá trị phải tìm.
Đáp án A.