Cho số phức $z=\dfrac{i-m}{1-m\left( m-2i \right)},m\in \mathbb{R}$. Xác định giá trị nhỏ nhất của số thực $k$ sao cho tồn tại $m$ để $\left| z-1...

Phương pháp:
- Rút gọn số phức $z.$
- Thay $z$ vào tính $\left| z-1 \right|,$ đưa bất phương trình về dạng ${{k}^{2}}\ge g\left( m \right)$ có nghiệm $\Leftrightarrow {{k}^{2}}\ge \min g\left( m \right).$
- Lập BBT hàm $g\left( m \right)$ và tìm $\min g\left( m \right).$
Cách giải:
Ta có $z=\dfrac{i-m}{1-m\left( m-2i \right)}=\dfrac{m-i}{{{m}^{2}}-2mi-1}=\dfrac{m-i}{{{\left( m-i \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{m-i}$
Khi đó ta có: $\left| z-1 \right|=\left| \dfrac{1}{m-i}-1 \right|=\left| \dfrac{1-m+i}{m-i} \right|=\dfrac{\left| m-1-i \right|}{\left| m-i \right|}\le k.$
$\Leftrightarrow \dfrac{{{\left( m-1 \right)}^{2}}+1}{{{m}^{2}}+1}\le {{k}^{2}}\Leftrightarrow {{k}^{2}}\ge \dfrac{{{m}^{2}}-2m+2}{{{m}^{2}}+1}.$
Bải toán trở thành tìm ${{k}_{\min }}$ để bất phương trình $k\ge \dfrac{{{m}^{2}}-2m+2}{{{m}^{2}}+1}=g\left( m \right)$ có nghiệm.
Ta có
$g'\left( m \right)=\dfrac{\left( 2m-2 \right)\left( {{m}^{2}}+1 \right)-\left( {{m}^{3}}-2m+2 \right).2m}{{{\left( {{m}^{2}}+1 \right)}^{2}}}$
$g'\left( m \right)=\dfrac{2{{m}^{3}}+2m-2{{m}^{2}}-2-2{{m}^{3}}+4{{m}^{2}}-4m}{{{\left( {{m}^{2}}+1 \right)}^{2}}}$
$g'\left( m \right)=\dfrac{2{{m}^{3}}-2m-2}{{{\left( {{m}^{2}}+1 \right)}^{2}}}$
$g'\left( m \right)=0\Leftrightarrow m=\dfrac{1\pm \sqrt{5}}{2}$
BBT:

Dựa vào BBT $\Rightarrow \min g\left( x \right)=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\Leftrightarrow {{k}^{2}}\ge \dfrac{3-\sqrt{5}}{2}=\dfrac{6-2\sqrt{5}}{4}=\dfrac{{{\left( \sqrt{5}-1 \right)}^{2}}}{2}\Rightarrow k>\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}.$
Vậy $k=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}.$