Cho số phức z có modun bằng 1 và có phần thực bằng a. Tính biểu...

The Knowledge · 14/1/22

Câu hỏi: Cho số phức z có modun bằng 1 và có phần thực bằng a. Tính biểu thức

z^{3} + \frac{1}{z^{3}}

theo a.
A.

8 a^{3} - 3 a

B.

8 a^{3} - 6 a

C.

a^{3} + 6 a

D.

a^{3} + 3 a

Ta có

z^{3} + \frac{1}{z^{3}} = (z + \frac{1}{z}) [{(z + \frac{1}{z})}^{2} - 3] = {(z + \frac{1}{z})}^{3} - 3 (z + \frac{1}{z})

Lại có

z + \frac{1}{z} = a + b i + \frac{1}{a + b i} = \frac{{(a + b i)}^{2} + 1}{a + b i} = \frac{a^{2} + 2 a b i - b^{2} + 1}{a + b i}

Mà

a^{2} + b^{2} = 1

suy ra

z + \frac{1}{z} = \frac{a^{2} + 2 a b i - b^{2} + a^{2} + b^{2}}{a + b i} = \frac{2 a^{2} + 2 a b i}{a + b i} = 2 a

Vậy

z^{3} + \frac{1}{z^{3}} = {(2 a)}^{3} - 3.2 a = 8 a^{3} - 6 a .

Đáp án B.