Google
Câu hỏi: Cho số phức z có modun bằng 1 và có phần thực bằng a. Tính biểu thức ${{z}^{3}}+\dfrac{1}{{{z}^{3}}}$ theo a.
A. $8{{a}^{3}}-3a$
B. $8{{a}^{3}}-6a$
C. ${{a}^{3}}+6a$
D. ${{a}^{3}}+3a$
A. $8{{a}^{3}}-3a$
B. $8{{a}^{3}}-6a$
C. ${{a}^{3}}+6a$
D. ${{a}^{3}}+3a$
Ta có ${{z}^{3}}+\dfrac{1}{{{z}^{3}}}=\left( z+\dfrac{1}{z} \right)\left[ {{\left( z+\dfrac{1}{z} \right)}^{2}}-3 \right]={{\left( z+\dfrac{1}{z} \right)}^{3}}-3\left( z+\dfrac{1}{z} \right)$
Lại có $z+\dfrac{1}{z}=a+bi+\dfrac{1}{a+bi}=\dfrac{{{\left( a+bi \right)}^{2}}+1}{a+bi}=\dfrac{{{a}^{2}}+2abi-{{b}^{2}}+1}{a+bi}$
Mà ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1$ suy ra $z+\dfrac{1}{z}=\dfrac{{{a}^{2}}+2abi-{{b}^{2}}+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{a+bi}=\dfrac{2{{a}^{2}}+2abi}{a+bi}=2a$
Vậy ${{z}^{3}}+\dfrac{1}{{{z}^{3}}}={{\left( 2a \right)}^{3}}-3.2a=8{{a}^{3}}-6a.$
Lại có $z+\dfrac{1}{z}=a+bi+\dfrac{1}{a+bi}=\dfrac{{{\left( a+bi \right)}^{2}}+1}{a+bi}=\dfrac{{{a}^{2}}+2abi-{{b}^{2}}+1}{a+bi}$
Mà ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1$ suy ra $z+\dfrac{1}{z}=\dfrac{{{a}^{2}}+2abi-{{b}^{2}}+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{a+bi}=\dfrac{2{{a}^{2}}+2abi}{a+bi}=2a$
Vậy ${{z}^{3}}+\dfrac{1}{{{z}^{3}}}={{\left( 2a \right)}^{3}}-3.2a=8{{a}^{3}}-6a.$
Đáp án B.