Google
Câu hỏi: Cho số phức $z$ ; biết rằng các điểm biểu diễn hình học của số phức $z$ ; $iz$ và $z+iz$ tạo thành một tam giác có diện tích bằng $18$. Mô đun của số phức $z$ bằng
A. $2\sqrt{3}$.
B. $3\sqrt{2}$.
C. 9.
D. $6$.
A. $2\sqrt{3}$.
B. $3\sqrt{2}$.
C. 9.
D. $6$.
Gọi $z=x+yi$, với $x, y\in \mathbb{R}; {{i}^{2}}=-1$ $\Rightarrow iz=-y+xi$ và $z+iz=(x-y)+(x+y)i$. Gọi $A,B,C$ lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức $z$ ; $iz$ và $z+iz$.
Khi đó $A(x;y)$, $B\left( -y; x \right)$, $C\left( x-y; x+y \right)$.
Ta có: $AB=\sqrt{{{\left( x+y \right)}^{2}}+{{\left( x-y \right)}^{2}}}=\sqrt{2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}}$, $AC=BC=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\left| z \right|$.
Vì $AC=BC$ và $A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}$, suy ra $\Delta ABC$ là tam giác vuông cân tại $C$.
Do đó ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AC.BC$ $\Leftrightarrow $ $\dfrac{1}{2}{{\left| z \right|}^{2}}=18$ $\Leftrightarrow $ $\left| z \right|=6$. Chọn đáp án D.
Khi đó $A(x;y)$, $B\left( -y; x \right)$, $C\left( x-y; x+y \right)$.
Ta có: $AB=\sqrt{{{\left( x+y \right)}^{2}}+{{\left( x-y \right)}^{2}}}=\sqrt{2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}}$, $AC=BC=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\left| z \right|$.
Vì $AC=BC$ và $A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}$, suy ra $\Delta ABC$ là tam giác vuông cân tại $C$.
Do đó ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AC.BC$ $\Leftrightarrow $ $\dfrac{1}{2}{{\left| z \right|}^{2}}=18$ $\Leftrightarrow $ $\left| z \right|=6$. Chọn đáp án D.
Đáp án D.