Cho số phức $z=a+bi\text{ (a, b}\in \mathbb{R}\text{)}$ thỏa mãn...

Giả sử $z=a+bi\text{ ,} \text{a,b}\in \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện đề bài ta có :
$\begin{aligned}
& z+1+3i-\left| z \right|i=0\Leftrightarrow a+bi+1+3i-\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}.i=0 \\
& \Leftrightarrow (a+1)+(b+3-\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}).i=0 \\
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a+1=0 \\
& b+3-\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-1\text{ (1)} \\
& b+3=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\text{ (2)} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
Thế (1) vào (2) ta được:
$b+3=\sqrt{{{b}^{2}}+1}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b+3\ge 0 \\
& {{(b+3)}^{2}}={{b}^{2}}+1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b\ge -3 \\
& {{b}^{2}}+6b+9={{b}^{2}}+1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b\ge -3 \\
& b=-\dfrac{4}{3}\text{ (t/m)} \\
\end{aligned} \right..$
Do đó $a=-1$ và $b=-\dfrac{4}{3}$. Vậy $S=-1+3\left( -\dfrac{4}{3} \right)=-5$.