Google
Câu hỏi: Cho số phức $z=a+bi$ $\left( a\in \mathbb{R},b\in \mathbb{Z} \right)$ thỏa mãn $\left| z+2+5i \right|=5$ và $z.\bar{z}=82$. Tính giá trị của biểu thức $P=a+b$.
A. $P=-8$
B. $P=10$
C. $P=-35$
D. $P=-7$
A. $P=-8$
B. $P=10$
C. $P=-35$
D. $P=-7$
Giả sử $z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$. Ta có $\left| z+2+5i \right|=5\Leftrightarrow \left| a+bi+2+5i \right|=5$
$\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{\left( b+5 \right)}^{2}}}=5\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+4a+10b+4=0$.
Lại có $z.\overline{z}=82\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=82$ nên $82+4a+10b+4=0$
$\Leftrightarrow 4a+10b+86=0\Leftrightarrow 2a+5b+43=0\Leftrightarrow a=-\dfrac{5b+43}{2}$
$\Rightarrow {{\left( -\dfrac{5b+43}{2} \right)}^{2}}+{{b}^{2}}=82\Leftrightarrow {{\left( 5b+43 \right)}^{2}}+4{{b}^{2}}=328\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& b=-9 \\
& b=-\dfrac{169}{29} \\
\end{aligned} \right.$.
Mà $b\in \mathbb{Z}$ nên $b=-9$ thỏa mãn $\Rightarrow a=1\Rightarrow P=-8$.
$\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{\left( b+5 \right)}^{2}}}=5\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+4a+10b+4=0$.
Lại có $z.\overline{z}=82\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=82$ nên $82+4a+10b+4=0$
$\Leftrightarrow 4a+10b+86=0\Leftrightarrow 2a+5b+43=0\Leftrightarrow a=-\dfrac{5b+43}{2}$
$\Rightarrow {{\left( -\dfrac{5b+43}{2} \right)}^{2}}+{{b}^{2}}=82\Leftrightarrow {{\left( 5b+43 \right)}^{2}}+4{{b}^{2}}=328\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& b=-9 \\
& b=-\dfrac{169}{29} \\
\end{aligned} \right.$.
Mà $b\in \mathbb{Z}$ nên $b=-9$ thỏa mãn $\Rightarrow a=1\Rightarrow P=-8$.
Đáp án A.