Cho số phức $z=a+bi\left( a,b\in Z \right)$ thỏa mãn $\left|...

Ta có: $\left| z+2+5i \right|=5\Leftrightarrow {{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{\left( b+5 \right)}^{2}}=25\left( 1 \right)$
Mặt khác: $z.\overline{z}=82\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=82\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có: $\left\{ \begin{matrix}
{{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{\left( b+5 \right)}^{2}}=25 \\
{{a}^{2}}+{{b}^{2}}=82 \\
\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
{{a}^{2}}+{{b}^{2}}=82 \\
2a+5b=-43 \\
\end{matrix} \right. \right.$
* $2a+5b=-43\Rightarrow b=\dfrac{-43-2a}{5}$ thay vào $\left( 2 \right)$ ta được: $29{{a}^{2}}+{{\left( \dfrac{-2a-43}{5} \right)}^{2}}=82\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
a=1 \\
a=\dfrac{-201}{29} \\
\end{matrix} \right.$
Do $\left( a,b\in Z \right)$ nên $a=\dfrac{-201}{29}$ (loại)
Với $a=1\Rightarrow b=-9\Rightarrow a+b=-8$