Google
Câu hỏi: Cho số phức $z=a+bi\left( a,b\in N \right)$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện $\left| z \right|=\left| \overline{z}-1-i \right|$ và biểu thức $A=\left| z-2+2i \right|+\left| z-3+i \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của biểu thức $a+b$ bằng
A. -1.
B. 2.
C. -2.
D. 1.
A. -1.
B. 2.
C. -2.
D. 1.
HD: $M\left( x;y \right)$ là điểm biểu diễn số phức z
Ta có: $\left| z \right|=\left| \overline{z}-1-i \right|\Leftrightarrow \left| x+yi \right|=\left| x-yi-1-i \right|\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow -2x+2y+2=0$
$\Leftrightarrow x-y-1=0 \left( d \right)$
Gọi $A\left( 2;-2 \right);B\left( 3;-1 \right)\Rightarrow A=MA+MB$
Dễ thấy A, B cùng phía so với đường thẳng, gọi A' là điểm đối xứng của A qua d
Phương trình đường thẳng $AA':x+y=0\Rightarrow $ trung điểm của AA' là $I=AA'\cap d\Rightarrow I\left( \dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{2} \right)$
Suy ra $A'\left( -1;1 \right)\Rightarrow A'B:x+2y-1=0$
Lại có: $A=MA+MB=MA'+MB\ge A'B$ dấu bằng xảy ra
$\Leftrightarrow M=A'B\cap d\Rightarrow M\left( 1;0 \right)\Rightarrow a+b=1.$
Ta có: $\left| z \right|=\left| \overline{z}-1-i \right|\Leftrightarrow \left| x+yi \right|=\left| x-yi-1-i \right|\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow -2x+2y+2=0$
$\Leftrightarrow x-y-1=0 \left( d \right)$
Gọi $A\left( 2;-2 \right);B\left( 3;-1 \right)\Rightarrow A=MA+MB$
Dễ thấy A, B cùng phía so với đường thẳng, gọi A' là điểm đối xứng của A qua d
Phương trình đường thẳng $AA':x+y=0\Rightarrow $ trung điểm của AA' là $I=AA'\cap d\Rightarrow I\left( \dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{2} \right)$
Suy ra $A'\left( -1;1 \right)\Rightarrow A'B:x+2y-1=0$
Lại có: $A=MA+MB=MA'+MB\ge A'B$ dấu bằng xảy ra
$\Leftrightarrow M=A'B\cap d\Rightarrow M\left( 1;0 \right)\Rightarrow a+b=1.$
Đáp án D.