Cho số phức $z=a+bi$ $\left( a, b \in \mathbb{R} \right)$ thỏa...

Trong mp tọa độ $Oxy$, Ta gọi các điểm biểu diễn của các số phức
$z=x+yi$ là $M\left( x ; y \right)$ ;
$z=-4+0i$ là ${{F}_{1}}\left( -4 ; 0 \right)$ ;
$z=4+0i$ là ${{F}_{2}}\left( 4 ; 0 \right)$ ;
Ta có: $\left| z+4 \right|+\left| z-4 \right|=10$ $\Rightarrow M{{F}_{1}}+M{{F}_{2}}=10$. (1)
$\left\{ \begin{aligned}
& M{{F}_{1}}^{2}={{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}} \\
& M{{F}_{2}}^{2}={{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow M{{F}_{1}}^{2}-M{{F}_{2}}^{2}=16x\Rightarrow M{{F}_{1}}-M{{F}_{2}}=\dfrac{8x}{5}$.(2)
Từ (1) và (2), suy ra $M{{F}_{1}}=5+\dfrac{4x}{5}$.
Mặt khác $M{{F}_{1}}^{2}={{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}$ $\Rightarrow {{\left( 5+\dfrac{4x}{5} \right)}^{2}}={{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}\Rightarrow \dfrac{{{x}^{2}}}{25}+\dfrac{{{y}^{2}}}{9}=1$.
Vậy, tập hợp các điểm biểu diễn của số phức thỏa mãn $\left| z+4 \right|+\left| z-4 \right|=10$ là Elip có phương trình $\left( E \right):\dfrac{{{x}^{2}}}{25}+\dfrac{{{y}^{2}}}{9}=1$.
Theo đề, ta cần tìm điểm thuộc $\left( E \right)$ sau cho $\left| z-6 \right|$ lớn nhất.
Ta gọi các điểm biểu diễn số phức
$z=6+0i$ là $A\left( 6 ; 0 \right)$ ;
$z=a+bi$ là $M\left( a ; b \right)\in \left( E \right)$ ;
$z=-5+0i$ là $C\left( -5 ; 0 \right)$.
Do đó, $\left| z-6 \right|$ lớn nhất khi và chỉ khi $MA$ lớn nhất.
Dựa, vào hình vẽ trên ta thấy để $MA$ lớn nhất khi $M\equiv C\left( -5 ; 0 \right)\Rightarrow a=-5; b=0\Rightarrow S=-5$.