Google
Câu hỏi: Cho số phức $z=a+bi$ $\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$ thỏa mãn $\left| z-3 \right|=\left| z-1 \right|$ và $\left( z+2 \right)\left( \overline{z}-i \right)$ là số thực. Giá trị của $a+2b$ bằng
A. $-2.$
B. 0.
C. 2.
D. 4.
A. $-2.$
B. 0.
C. 2.
D. 4.
Ta có
$\left| z-3 \right|=\left| z-1 \right|\Leftrightarrow \left| a-3+bi \right|=\left| a-1+bi \right|\Leftrightarrow {{\left( a-3 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}={{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}\Leftrightarrow a=2$
Và
$\left( z+2 \right)\left( \bar{z}-i \right)=\left( 4+bi \right)\left[ 2-\left( b-1 \right)i \right]=8-4\left( b+1 \right)i+2bi+b\left( b+1 \right)={{b}^{2}}+b+8-\left( 2b+4 \right)i$
Vì $\left( z+2 \right)\left( \overline{z}-i \right)$ là số thực nên $-\left( 2b+4 \right)=0\Leftrightarrow b=-2.$ Vậy $a+2b=-2.$
$\left| z-3 \right|=\left| z-1 \right|\Leftrightarrow \left| a-3+bi \right|=\left| a-1+bi \right|\Leftrightarrow {{\left( a-3 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}={{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}\Leftrightarrow a=2$
Và
$\left( z+2 \right)\left( \bar{z}-i \right)=\left( 4+bi \right)\left[ 2-\left( b-1 \right)i \right]=8-4\left( b+1 \right)i+2bi+b\left( b+1 \right)={{b}^{2}}+b+8-\left( 2b+4 \right)i$
Vì $\left( z+2 \right)\left( \overline{z}-i \right)$ là số thực nên $-\left( 2b+4 \right)=0\Leftrightarrow b=-2.$ Vậy $a+2b=-2.$
Đáp án A.