Google
Câu hỏi: Cho số phức $z=a+bi \left( a ; b\in \mathbb{R} \right)$ thỏa mãn $4\left( z-\bar{z} \right)-15i=i{{\left( z+\bar{z}-1 \right)}^{2}}$ và môđun của số phức $z-\dfrac{1}{2}+3i$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị của $\dfrac{a}{4}+b$ bằng
A. $3$.
B. $4$.
C. $1$.
D. $2$.
A. $3$.
B. $4$.
C. $1$.
D. $2$.
Ta có: $\bar{z}=a-b i$
Do đó $4(z-\bar{z})-15 i=i(z+\bar{z}-1)^{2} \Leftrightarrow 8 b i-15 i=i(2 a-1)^{2} \Leftrightarrow(8 b-15) i=i(2 a-1)^{2}$
$
\Leftrightarrow 8 b-15=(2 a-1)^{2} \Leftrightarrow\left(a-\dfrac{1}{2}\right)^{2}=2 b-\dfrac{15}{4} \Rightarrow b \geq \dfrac{15}{8}
$
Khi đó $\left|z-\dfrac{1}{2}+3 i\right|=\left|a-\dfrac{1}{2}+(b+3) i\right|=\sqrt{\left(a-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+(b+3)^{2}}=\sqrt{2 b-\dfrac{15}{4}+(b+3)^{2}}$ $=\sqrt{b^{2}+8 b+\dfrac{21}{4}} \geq \sqrt{\left(\dfrac{15}{8}\right)^{2}+8\left(\dfrac{15}{8}\right)+\dfrac{21}{4}}=\dfrac{39}{8}$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=\dfrac{1}{2} \\ b=\dfrac{15}{8}\end{array}\right.$
Do đó $\dfrac{a}{4}+b=2$
Do đó $4(z-\bar{z})-15 i=i(z+\bar{z}-1)^{2} \Leftrightarrow 8 b i-15 i=i(2 a-1)^{2} \Leftrightarrow(8 b-15) i=i(2 a-1)^{2}$
$
\Leftrightarrow 8 b-15=(2 a-1)^{2} \Leftrightarrow\left(a-\dfrac{1}{2}\right)^{2}=2 b-\dfrac{15}{4} \Rightarrow b \geq \dfrac{15}{8}
$
Khi đó $\left|z-\dfrac{1}{2}+3 i\right|=\left|a-\dfrac{1}{2}+(b+3) i\right|=\sqrt{\left(a-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+(b+3)^{2}}=\sqrt{2 b-\dfrac{15}{4}+(b+3)^{2}}$ $=\sqrt{b^{2}+8 b+\dfrac{21}{4}} \geq \sqrt{\left(\dfrac{15}{8}\right)^{2}+8\left(\dfrac{15}{8}\right)+\dfrac{21}{4}}=\dfrac{39}{8}$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=\dfrac{1}{2} \\ b=\dfrac{15}{8}\end{array}\right.$
Do đó $\dfrac{a}{4}+b=2$
Đáp án D.