Cho số phức $z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$ thỏa mãn...

Cách 1: (Sử dụng định nghĩa hai số phức bằng nhau)
$z+1+3i-\left| z \right|i=0\Leftrightarrow a+bi+1+3i-\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}i=0\Leftrightarrow a+1+\left( b+3-\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \right)i=0$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a+1=0 \\
& b+3-\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-1 \\
& b+3-\sqrt{{{1}^{2}}+{{b}^{2}}}=0\left( * \right) \\
\end{aligned} \right.$
Giải (*):$\left( * \right)\Leftrightarrow \sqrt{{{b}^{2}}+1}=b+3\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b+3\ge 0 \\
& {{b}^{2}}+1={{\left( b+3 \right)}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b\ge -3 \\
& 6b=-8 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b\ge -3 \\
& b=\dfrac{-4}{3} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow b=\dfrac{-4}{3}$.
Vậy $a-3b=3$.
Cách 2: (Mô-đun hóa hai vế)
$z+1+3i-\left| z \right|i=0\Leftrightarrow z=-1+\left( \left| z \right|-3 \right)i\Rightarrow {{\left| z \right|}^{2}}=1+{{\left( \left| z \right|-3 \right)}^{2}}\Leftrightarrow 6\left| z \right|=10\Leftrightarrow \left| z \right|=\dfrac{5}{3}$.
Do đó $z=-1+\left( \dfrac{5}{3}-3 \right)i\Leftrightarrow z=-1-\dfrac{4}{3}i\left\{ \begin{aligned}
& a=-1 \\
& b=-\dfrac{4}{3} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow a-3b=3$.
Lưu ý: Vì $\left| z \right|$ là một số thực nên ta coi $-1\left( \left| z \right|-3 \right)i$ là một số phức với phần thực bằng $-1$ và phần ảo bằng $\left| z \right|-3$. Do đó $\left| -1+\left( \left| z \right|-3 \right)i \right|=\sqrt{{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{\left( \left| z \right|-3 \right)}^{2}}}$.