Google
Câu hỏi: Cho số phức $z=a+bi \left( a ; b\in \mathbb{R} \right)$ thỏa mãn $4\left( z-\bar{z} \right)-15i=i{{\left( z+\bar{z}-1 \right)}^{2}}$ và môđun của số phức $z-\dfrac{1}{2}+3i$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị của $\dfrac{a}{4}+b$ bằng
A. $3$.
B. $4$.
C. $1$.
D. $2$.
A. $3$.
B. $4$.
C. $1$.
D. $2$.
Ta có: $\overline{z}=a-bi$
Do đó $4\left( z-\overline{z} \right)-15i=i{{\left( z+\overline{z}-1 \right)}^{2}}$ $\Leftrightarrow $ $8bi-15i=i{{\left( 2a-1 \right)}^{2}}$ $\Leftrightarrow $ $\left( 8b-15 \right)i=i{{\left( 2a-1 \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow $ $8b-15={{\left( 2a-1 \right)}^{2}}$ $\Leftrightarrow $ ${{\left( a-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}=2b-\dfrac{15}{4}$ $\Rightarrow $ $b\ge \dfrac{15}{8}$
Khi đó $\left| z-\dfrac{1}{2}+3i \right|=\left| a-\dfrac{1}{2}+\left( b+3 \right)i \right|=\sqrt{{{\left( a-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( b+3 \right)}^{2}}}=\sqrt{2b-\dfrac{15}{4}+{{\left( b+3 \right)}^{2}}}$
$=\sqrt{{{b}^{2}}+8b+\dfrac{21}{4}}\ge \sqrt{{{\left( \dfrac{15}{8} \right)}^{2}}+8\left( \dfrac{15}{8} \right)+\dfrac{21}{4}}=\dfrac{39}{8}$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow $ $\left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{1}{2} \\
& b=\dfrac{15}{8} \\
\end{aligned} \right.$
Do đó $\dfrac{a}{4}+b=2$.
Do đó $4\left( z-\overline{z} \right)-15i=i{{\left( z+\overline{z}-1 \right)}^{2}}$ $\Leftrightarrow $ $8bi-15i=i{{\left( 2a-1 \right)}^{2}}$ $\Leftrightarrow $ $\left( 8b-15 \right)i=i{{\left( 2a-1 \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow $ $8b-15={{\left( 2a-1 \right)}^{2}}$ $\Leftrightarrow $ ${{\left( a-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}=2b-\dfrac{15}{4}$ $\Rightarrow $ $b\ge \dfrac{15}{8}$
Khi đó $\left| z-\dfrac{1}{2}+3i \right|=\left| a-\dfrac{1}{2}+\left( b+3 \right)i \right|=\sqrt{{{\left( a-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( b+3 \right)}^{2}}}=\sqrt{2b-\dfrac{15}{4}+{{\left( b+3 \right)}^{2}}}$
$=\sqrt{{{b}^{2}}+8b+\dfrac{21}{4}}\ge \sqrt{{{\left( \dfrac{15}{8} \right)}^{2}}+8\left( \dfrac{15}{8} \right)+\dfrac{21}{4}}=\dfrac{39}{8}$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow $ $\left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{1}{2} \\
& b=\dfrac{15}{8} \\
\end{aligned} \right.$
Do đó $\dfrac{a}{4}+b=2$.
Đáp án D.