Cho số phức $z=a+bi \left( a,b\in \mathbb{R} \right)$ thoả mãn...

Ta có
$\dfrac{z-4}{z-4i}=\dfrac{a+bi-4}{a+bi-4i}$ $=\dfrac{a-4+bi}{a+\left( b-4 \right).i}$ $=\dfrac{\left( a-4+bi \right)\left( a-\left( b-4 \right)i \right)}{{{a}^{2}}+{{\left( b-4 \right)}^{2}}}$ $=\dfrac{a\left( a-4 \right)-\left( a-4 \right)\left( b-4 \right)i+ab.i+b\left( b-4 \right)}{{{a}^{2}}+{{\left( b-4 \right)}^{2}}}$ $=\dfrac{a\left( a-4 \right)+b\left( b-4 \right)+i\left( ab-\left( a-4 \right)\left( b-4 \right) \right)}{{{a}^{2}}+{{\left( b-4 \right)}^{2}}}$
$=\dfrac{a\left( a-4 \right)+b\left( b-4 \right)}{{{a}^{2}}+{{\left( b-4 \right)}^{2}}}+\dfrac{\left( ab-\left( a-4 \right)\left( b-4 \right) \right)}{{{a}^{2}}+{{\left( b-4 \right)}^{2}}}i$
Vì $\dfrac{z-4}{z-4i}$ là số thuần ảo nên $\dfrac{a\left( a-4 \right)+b\left( b-4 \right)}{{{a}^{2}}+{{\left( b-4 \right)}^{2}}}=0$
$\Rightarrow a\left( a-4 \right)+b\left( b-4 \right)=0\Rightarrow {{a}^{2}}-4a+{{b}^{2}}-4b=0\Rightarrow {{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}=8$
$\Rightarrow $ Tập hợp điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ nằm trên đường tròn tâm $I\left( 2;2 \right)$ bán kính $R=2\sqrt{2}$ (như hình vẽ).
Do đó, ${{\left| z \right|}_{\text{max}}}$ khi $M$ là giao điểm của $OI:\left\{ \begin{aligned}
& x=t \\
& y=t \\
\end{aligned} \right. $ và đường tròn $ \left( C \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=8$
$\Rightarrow $ Giải hệ phương trình trên ta được $t=0$ hoặc $t=4$
+ Với $t=0$ $\Rightarrow M\equiv O$ (loại)
+ Với $t=4\Rightarrow M\left( 4;4 \right)\Rightarrow z=4+4i$.Vậy $P={{a}^{2}}+2b=24$.