Google
Câu hỏi: Cho số phức $z=a+bi$ $\left( a, b\in \mathbb{R} \right)$ thỏa mãn $\left| z-3 \right|=\left| z-1 \right|$ và $\left( z+2 \right)\left( \overline{z}-i \right)$ là số thực. Tính $a+b$.
A. $-2$.
B. 0.
C. 2.
D. 4.
A. $-2$.
B. 0.
C. 2.
D. 4.
Ta có $z=a+bi $ $\left( a, b\in \mathbb{R} \right)$.
+) $\left| z-3 \right|=\left| z-1 \right|$ $\Leftrightarrow \left| a-3+bi \right|=\left| a-1+bi \right|$ $\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( a-3 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}$ $\Leftrightarrow {{\left( a-3 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}={{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}$ $\Leftrightarrow -4a+8=0$ $\Leftrightarrow a=2$.
+) $\left( z+2 \right)\left( \overline{z}-i \right)=\left( a+bi+2 \right)\left( a-bi-i \right)=\left[ \left( a+2 \right)+bi \right]\left[ a-\left( b+1 \right)i \right]$ $=a\left( a+2 \right)+b\left( b+1 \right)-\left( a+2b+2 \right)i$.
$\left( z+2 \right)\left( \overline{z}-i \right)$ là số thực $\Leftrightarrow a+2b+2=0$.
Thay $a=2$ tìm được $b=-2$. Vậy $a+b=0$.
+) $\left| z-3 \right|=\left| z-1 \right|$ $\Leftrightarrow \left| a-3+bi \right|=\left| a-1+bi \right|$ $\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( a-3 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}$ $\Leftrightarrow {{\left( a-3 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}={{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}$ $\Leftrightarrow -4a+8=0$ $\Leftrightarrow a=2$.
+) $\left( z+2 \right)\left( \overline{z}-i \right)=\left( a+bi+2 \right)\left( a-bi-i \right)=\left[ \left( a+2 \right)+bi \right]\left[ a-\left( b+1 \right)i \right]$ $=a\left( a+2 \right)+b\left( b+1 \right)-\left( a+2b+2 \right)i$.
$\left( z+2 \right)\left( \overline{z}-i \right)$ là số thực $\Leftrightarrow a+2b+2=0$.
Thay $a=2$ tìm được $b=-2$. Vậy $a+b=0$.
Đáp án B.