Google
Câu hỏi: Cho số phức $z=a+bi,\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$ thỏa mãn điều kiện $\left| z-3-4i \right|=\sqrt{5}$. Tính giá trị biểu thức $P=a+b$ khi $\left| z+1-3i \right|+\left| z-1+i \right|$ đạt giá trị lớn nhất.
A. 10
B. 2
C. 4
D. 7
A. 10
B. 2
C. 4
D. 7
Gọi $M$ là điểm biểu diễn $z$ thỏa mãn điều kiện $\left| z-3-4i \right|=\sqrt{5}$ thì tập hợp M là đường tròn tâm $I\left( 4;3 \right)$, bán kính $\sqrt{5}$. Gọi $A\left( -1;3 \right), B\left( 1;-1 \right)$ thì
$\left| z+1-3i \right|+\left| z-1+i \right|=MA+MB$.
Nhận xét thấy $A,B,M$ luôn tạo thành 1 tam giác. Gọi $C$ là trung điểm $AB$, $C\left( 0;1 \right)$, ta có $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=2M{{C}^{2}}+\dfrac{A{{B}^{2}}}{2}+\sqrt{5}$
Mà $MA+MB\le \sqrt{2}\sqrt{M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}}$.
Do đó $MA+MB$ đạt giá trị lớn nhất khi $MC$ lớn nhất. $C$ nằm ngoài đường tròn tâm $I$, bán kính $\sqrt{5}$ nên $M{{C}_{\max }}=IC+\sqrt{5}=2\sqrt{5}$, khi đó $M$ trùng với $D\left( 6;4 \right)$. Vậy số phức thỏa mãn các yêu cầu của đề bài là $z=6+4i\Rightarrow P=10$.
$\left| z+1-3i \right|+\left| z-1+i \right|=MA+MB$.
Nhận xét thấy $A,B,M$ luôn tạo thành 1 tam giác. Gọi $C$ là trung điểm $AB$, $C\left( 0;1 \right)$, ta có $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=2M{{C}^{2}}+\dfrac{A{{B}^{2}}}{2}+\sqrt{5}$
Mà $MA+MB\le \sqrt{2}\sqrt{M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}}$.
Do đó $MA+MB$ đạt giá trị lớn nhất khi $MC$ lớn nhất. $C$ nằm ngoài đường tròn tâm $I$, bán kính $\sqrt{5}$ nên $M{{C}_{\max }}=IC+\sqrt{5}=2\sqrt{5}$, khi đó $M$ trùng với $D\left( 6;4 \right)$. Vậy số phức thỏa mãn các yêu cầu của đề bài là $z=6+4i\Rightarrow P=10$.
Đáp án A.