Google
Câu hỏi: Cho số phức $z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$ thỏa mãn $\left| z \right|=5$ và $z\left( 2+i \right)\left( 1-2i \right)$ là một số thực. Tính $P=\left| a \right|+\left| b \right|$.
A. $P=8$
B. $P=4$
C. $P=5$
D. $P=7$
A. $P=8$
B. $P=4$
C. $P=5$
D. $P=7$
Ta có
$z\left( 2+i \right)\left( 1-2i \right)=\left( a+bi \right)\left( 4-3i \right)=4a+3b+\left( -3a+4b \right)i.\text{ }\left( 1 \right)$
Do $z\left( 2+i \right)\left( 1-2i \right)$ là một số thực nên từ $\left( 1 \right)$ suy ra $-3a+4b=0\Leftrightarrow b=\dfrac{3}{4}a.\text{ }\left( 2 \right)$
Mặt khác $\left| z \right|=5\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=25.\text{ }\left( 3 \right)$
Thế $\left( 2 \right)$ vào $\left( 3 \right)$ ta được phương trình
${{a}^{2}}+{{\left( \dfrac{3}{4}a \right)}^{2}}=25\Leftrightarrow {{a}^{2}}=16\Leftrightarrow a=\pm 4.$
Với $a=4\Rightarrow b=3$ và $a=-4\Rightarrow b=-3.$
Vậy $P=\left| a \right|+\left| b \right|=3+4=7.$
$z\left( 2+i \right)\left( 1-2i \right)=\left( a+bi \right)\left( 4-3i \right)=4a+3b+\left( -3a+4b \right)i.\text{ }\left( 1 \right)$
Do $z\left( 2+i \right)\left( 1-2i \right)$ là một số thực nên từ $\left( 1 \right)$ suy ra $-3a+4b=0\Leftrightarrow b=\dfrac{3}{4}a.\text{ }\left( 2 \right)$
Mặt khác $\left| z \right|=5\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=25.\text{ }\left( 3 \right)$
Thế $\left( 2 \right)$ vào $\left( 3 \right)$ ta được phương trình
${{a}^{2}}+{{\left( \dfrac{3}{4}a \right)}^{2}}=25\Leftrightarrow {{a}^{2}}=16\Leftrightarrow a=\pm 4.$
Với $a=4\Rightarrow b=3$ và $a=-4\Rightarrow b=-3.$
Vậy $P=\left| a \right|+\left| b \right|=3+4=7.$
Đáp án D.