Google
Câu hỏi: Cho số phức $z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$ thỏa mãn $\left| z \right|=1.$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A=\left| z+2 \right|+2\left| z-2 \right|.$
A. $10\sqrt{2}.$
B. $7$
C. $10$
D. $5\sqrt{2}$
A. $10\sqrt{2}.$
B. $7$
C. $10$
D. $5\sqrt{2}$
Ta có:
$\begin{aligned}
& |z+2{{|}^{2}}={{(a+2)}^{2}}+{{b}^{2}};|z-2{{|}^{2}}={{(a-2)}^{2}}+{{b}^{2}} \\
& \Rightarrow |z+2{{|}^{2}}+|z-2{{|}^{2}}=2({{a}^{2}}+{{b}^{2}})+8=2|z{{|}^{2}}+8=10 \\
\end{aligned}$
Ta có: ${{A}^{2}}={{(|z+2|+2|z-2|)}^{2}}\le ({{1}^{2}}+{{2}^{2}})(|z+2{{|}^{2}}+|z-2{{|}^{2}})=50$.
Vì $A\ge 0$ nên từ đó suy ra $A\le \sqrt{50}=5\sqrt{2}$.
Vậy giá trị lớn nhất của $A$ là $5\sqrt{2}$.
$\begin{aligned}
& |z+2{{|}^{2}}={{(a+2)}^{2}}+{{b}^{2}};|z-2{{|}^{2}}={{(a-2)}^{2}}+{{b}^{2}} \\
& \Rightarrow |z+2{{|}^{2}}+|z-2{{|}^{2}}=2({{a}^{2}}+{{b}^{2}})+8=2|z{{|}^{2}}+8=10 \\
\end{aligned}$
Ta có: ${{A}^{2}}={{(|z+2|+2|z-2|)}^{2}}\le ({{1}^{2}}+{{2}^{2}})(|z+2{{|}^{2}}+|z-2{{|}^{2}})=50$.
Vì $A\ge 0$ nên từ đó suy ra $A\le \sqrt{50}=5\sqrt{2}$.
Vậy giá trị lớn nhất của $A$ là $5\sqrt{2}$.
Đáp án D.