Cho số phức $z = a + b i (a, b \in R)$ thỏa mãn đồng...

The Knowledge · 18/2/22

Câu hỏi: Cho số phức

z = a + b i (a, b \in R)

thỏa mãn đồng thời hai điều kiện

| z | = | \overset{―}{z} - 1 - i |

và biểu thức

A = | z - 2 + 2 i | + | z - 3 + i |

đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của biểu thức

a + b

bằng.
A.

- 1

.
B. 2.
C.

- 2

.
D. 1.

Đặt

z = a + b i

ta có:

| z | = | \overset{―}{z} - 1 - i | \Leftrightarrow \sqrt{a^{2} + b^{2}} = | a - b i - 1 - i | = \sqrt{{(a - 1)}^{2} + {(- b - 1)}^{2}}

\Leftrightarrow a^{2} + b^{2} = a^{2} - 2 a + 1 + b^{2} + 2 b + 1 \Leftrightarrow a - b - 1 = 0 \Leftrightarrow a = b + 1

.
Khi đó:

A = | a + b i - 2 + 2 i | + | a + b i - 3 + i | = \sqrt{{(a - 2)}^{2} + {(b + 2)}^{2}} + \sqrt{{(a - 3)}^{2} + {(b + 1)}^{2}}

= \sqrt{{(b - 1)}^{2} + {(b + 2)}^{2}} + \sqrt{{(b - 2)}^{2} + {(b + 1)}^{2}} = \sqrt{2 b^{2} + 2 b + 5} + \sqrt{2 b^{2} - 2 b + 5}

= \sqrt{2 {(b + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{9}{2}} + \sqrt{2 {(b - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{9}{2}}

Áp dụng bất đẳng thức:

| \vec{u} | + | \vec{v} | \geq | \vec{u} + \vec{v} |

với

\vec{u} (\sqrt{2} (b + \frac{1}{2}); \frac{3}{\sqrt{2}}); \vec{v} (\sqrt{2} (\frac{1}{2} - b); \frac{3}{\sqrt{2}})

ta có:

A \geq \sqrt{{(\sqrt{2})}^{2} + {(\frac{6}{\sqrt{2}})}^{2}} = 2 \sqrt{5}

Dấu bằng xảy ra

\Leftrightarrow \vec{u} = k . \vec{v} \Leftrightarrow \frac{b + \frac{1}{2}}{\frac{1}{2} - b} = 1 \Leftrightarrow b = 0 \Rightarrow a = 1 \Rightarrow a + b = 1

.

Đáp án D.

Cho số phức z=a+bi(a,b∈R) thỏa mãn đồng...