Google
Câu hỏi: Cho số phức $z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện $\left| z \right|=\left| \overline{z}-1-i \right|$ và biểu thức $A=\left| z-2+2i \right|+\left| z-3+i \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của biểu thức $a+b$ bằng.
A. $-1$.
B. 2.
C. $-2$.
D. 1.
A. $-1$.
B. 2.
C. $-2$.
D. 1.
Đặt $z=a+bi$ ta có: $\left| z \right|=\left| \overline{z}-1-i \right|\Leftrightarrow \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\left| a-bi-1-i \right|=\sqrt{{{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( -b-1 \right)}^{2}}}$
$\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{a}^{2}}-2a+1+{{b}^{2}}+2b+1\Leftrightarrow a-b-1=0\Leftrightarrow a=b+1$.
Khi đó: $A=\left| a+bi-2+2i \right|+\left| a+bi-3+i \right|=\sqrt{{{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b+2 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( a-3 \right)}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}}$
$=\sqrt{{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( b+2 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( b-2 \right)}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}}=\sqrt{2{{b}^{2}}+2b+5}+\sqrt{2{{b}^{2}}-2b+5}$
$=\sqrt{2{{\left( b+\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{9}{2}}+\sqrt{2{{\left( b-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{9}{2}}$
Áp dụng bất đẳng thức: $\left| \overrightarrow{u} \right|+\left| \overrightarrow{v} \right|\ge \left| \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} \right|$ với $\overrightarrow{u}\left( \sqrt{2}\left( b+\dfrac{1}{2} \right);\dfrac{3}{\sqrt{2}} \right);\overrightarrow{v}\left( \sqrt{2}\left( \dfrac{1}{2}-b \right);\dfrac{3}{\sqrt{2}} \right)$ ta có:
$A\ge \sqrt{{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{6}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}}=2\sqrt{5}$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \overrightarrow{u}=k.\overrightarrow{v}\Leftrightarrow \dfrac{b+\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2}-b}=1\Leftrightarrow b=0\Rightarrow a=1\Rightarrow a+b=1$.
$\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{a}^{2}}-2a+1+{{b}^{2}}+2b+1\Leftrightarrow a-b-1=0\Leftrightarrow a=b+1$.
Khi đó: $A=\left| a+bi-2+2i \right|+\left| a+bi-3+i \right|=\sqrt{{{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b+2 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( a-3 \right)}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}}$
$=\sqrt{{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( b+2 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( b-2 \right)}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}}=\sqrt{2{{b}^{2}}+2b+5}+\sqrt{2{{b}^{2}}-2b+5}$
$=\sqrt{2{{\left( b+\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{9}{2}}+\sqrt{2{{\left( b-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{9}{2}}$
Áp dụng bất đẳng thức: $\left| \overrightarrow{u} \right|+\left| \overrightarrow{v} \right|\ge \left| \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} \right|$ với $\overrightarrow{u}\left( \sqrt{2}\left( b+\dfrac{1}{2} \right);\dfrac{3}{\sqrt{2}} \right);\overrightarrow{v}\left( \sqrt{2}\left( \dfrac{1}{2}-b \right);\dfrac{3}{\sqrt{2}} \right)$ ta có:
$A\ge \sqrt{{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{6}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}}=2\sqrt{5}$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \overrightarrow{u}=k.\overrightarrow{v}\Leftrightarrow \dfrac{b+\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2}-b}=1\Leftrightarrow b=0\Rightarrow a=1\Rightarrow a+b=1$.
Đáp án D.