Cho số phức $z=a+bi$ (a, b là các số thực) thỏa mãn $z\left| z...

Cách 1: Đặt $z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$. Ta có
$z\left| z \right|+2z+i=0\Leftrightarrow \left( a+bi \right)\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+2\left( a+bi \right)+i=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+2a=0 \left( 1 \right) \\
& b\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+2b+1=0 \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right..$
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow a\left( \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+2 \right)=0\Leftrightarrow a=0$ (do $\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+2>0$ ).
Thay $a=0$ vào (2) ta được $b\sqrt{{{b}^{2}}}+2b+1=0.$
+ Nếu $b\ge 0$ thì ta có ${{b}^{2}}+2b+1=0\Leftrightarrow {{\left( b+1 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow b=-1$, vô lí.
+ Nếu $b<0$ thì ta có $-{{b}^{2}}+2b+1=0\Rightarrow b=1-\sqrt{2}.$
Vậy $a=0,b=1-\sqrt{2}\Rightarrow a+{{b}^{2}}=3-2\sqrt{2}.$
Cách 2: (Mô-đun hóa hai vế)
$z\left| z \right|+2z+i=0\Leftrightarrow z\left( \left| z \right|+2 \right)=-i\Rightarrow \left| z\left( \left| z \right|+2 \right) \right|=\left| -i \right|\Leftrightarrow \left| z \right|\left( \left| z \right|+2 \right)=1$
$\Leftrightarrow {{\left| z \right|}^{2}}+2\left| z \right|-1=0\Rightarrow \left| z \right|=\sqrt{2}-1.$
Vậy ta có $z\left( \sqrt{2}-1+2 \right)=-i\Rightarrow z=\dfrac{-i}{\sqrt{2}+1}=\left( 1-\sqrt{2} \right)i.$
Do đó $a=0,b=1-\sqrt{2}\Rightarrow a+{{b}^{2}}=3-2\sqrt{2}.$