Google
Câu hỏi: Cho số phức $z=a+bi(a,b\in \mathbb{R})$ thỏa mãn $\dfrac{z-2i}{z-2}$ là số thuần ảo. Khi số phức z có môđun lớn nhất, tính giá trị biểu thức $P=a+b$.
A. $P=0$
B. $P=4$
C. $P=2\sqrt{2}+1$
D. $P=1+3\sqrt{2}$
A. $P=0$
B. $P=4$
C. $P=2\sqrt{2}+1$
D. $P=1+3\sqrt{2}$
Theo giả thiết ta có $\dfrac{z-2i}{z-2}=ki,k\in \mathbb{R}\Leftrightarrow z-2i=ki(z-2)\Leftrightarrow z(1-ki)=(2-2k)i\Leftrightarrow z=\dfrac{(2-2k)i}{1-ki}$.
Khi đó $\left| z \right|=\left| \dfrac{(2-2k)i}{1-ki} \right|=\dfrac{\left| 2-2k \right|}{\sqrt{1+{{k}^{2}}}}\le \dfrac{2\sqrt{\left( {{1}^{2}}+{{(-1)}^{2}} \right)\left( {{1}^{2}}+{{k}^{2}} \right)}}{\sqrt{1+{{k}^{2}}}}=2\sqrt{2}$.
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \dfrac{1}{-1}=\dfrac{1}{k}\Leftrightarrow k=-1$ và $z=\dfrac{4i}{1+i}=2+2i\Rightarrow P=2+2=4$.
Khi đó $\left| z \right|=\left| \dfrac{(2-2k)i}{1-ki} \right|=\dfrac{\left| 2-2k \right|}{\sqrt{1+{{k}^{2}}}}\le \dfrac{2\sqrt{\left( {{1}^{2}}+{{(-1)}^{2}} \right)\left( {{1}^{2}}+{{k}^{2}} \right)}}{\sqrt{1+{{k}^{2}}}}=2\sqrt{2}$.
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \dfrac{1}{-1}=\dfrac{1}{k}\Leftrightarrow k=-1$ và $z=\dfrac{4i}{1+i}=2+2i\Rightarrow P=2+2=4$.
Đáp án B.