Cho số phức $z=a+b i(a, b \in \mathbb{R})$ và thỏa mãn $|z-4-3...

$+)$ Gọi $M(a ; b)$ là điểm biểu diễn số phức $z=a+b i(a, b \in \mathbb{R})$.
+) Có: $|z-4-3 i|=\sqrt{5} \Leftrightarrow(a-4)^2+(b-3)^2=5 \Rightarrow M \in(C):(x-4)^2+(y-3)^2=5$.
+) Gọi $A(-1 ; 3)$ là điểm biểu diễn số phức $z_1=4+3 i$ và $B(1 ;-1)$ là điểm biểu diễn số phức $z_2=1-i$. Gọi $I(0 ; 1)$ là trung điểm đoạn $A B$.
$\Rightarrow|z+1-3 i|+|z-1+i|=M A+M B$.
+) Có $(M A+M B)^2 \leq(1+1)\left(M A^2+M B^2\right) \leq 2\left(2 M I^2+\dfrac{A B^2}{2}\right)$.
$\Rightarrow|z+1-3 i|+|z-1+i| \leq \sqrt{4 M I^2+A B^2}$.
$\Rightarrow|z+1-3 i|+|z-1+i|$ đạt GTLN khi $M I$ lớn nhất $\Leftrightarrow M \equiv F$.
+) Gọi $J$ là tâm đường tròn $(C), J(4 ; 3), R=\sqrt{5}$.
+) Phương trình đường thẳng $I J: x-2 y+2=0$. Tọa độ giao điểm của $(C)$ và đường thẳng $I J$ là nghiệm hệ pt: $\left\{\begin{array}{l}x-2 y+2=0 \\ (x-4)^2+(y-3)^2=5\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=2, y=2 \\ x=6, y=4\end{array}\right.\right.$.
+) Gọi $E(2 ; 2), F(6 ; 4)$, có $I E>I F$. Vậy $M \equiv F(6 ; 4) \Rightarrow z=6+4 i \Rightarrow P=10$.