Cho số phức ${{z}_{1}} ;{{z}_{2}}$ thỏa $\left| {{z}_{1}}-1-2i...

Gọi ${{z}_{1}}=x+yi$ với $x,y\in \mathbb{R}$ khi đó $\left| {{z}_{1}}-1-2i \right|=1\Rightarrow {{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=1$.
Suy ra tập hợp biểu diễn số phức ${{z}_{1}}$ là đường tròn (C) có phương trình ${{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=1$.
Gọi ${{z}_{2}}=a+bi$ với $a,b\in \mathbb{R}$ khi đó $\left| {{z}_{2}}+2+3i \right|=\left| {{z}_{2}}-1-i \right|\Rightarrow {{(a+2)}^{2}}+{{(b+3)}^{2}}={{(a-1)}^{2}}+{{(b-1)}^{2}}\Rightarrow 6a+8b+11=0.$
Suy ra tập hợp biểu diễn số phức ${{z}_{2}}$ là đường thẳng $\Delta $ có phương trình $\Delta :6x+8y+11=0$.
Gọi $M$ là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}}$ và $N$ là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{2}}$ trong mặt phẳng phứC. Từ đó ta có $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=NM$.
Ta thấy $d(I,\Delta )>R$ ( Với $I$ và $R$ lần lượt là tâm và bán kính đường tròn (C))
Nên $N{{M}_{\min }}=d(I,\Delta )-R=\dfrac{33}{10}-1=\dfrac{23}{10}$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ bằng $\dfrac{23}{10}.$